Положительные действительные числа a , b , c удовлетворяют равенству a + b + c = 3 . Найдите наибольшее возможное значение выражения ((1+a)^2)/(a + (1)/(b)) + ((1+b)^2)/(b + (1)/(c)) + ((1+c)^2)/(c + (1)/(a)).

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим справедливо (1+a)^2 = 1 + 2a + a^2 1 + (b + (1)/(b))a + a^2 = 1 + (a)/(b) + ab + a^2 = (a+b)(a + (1)/(b)). Аналогично, (1+b)^2 (b+c)(b + (1)/(c)) и (1+c)^2 (c+a)(c + (1)/(a)) . Тогда ((1+a)^2)/(a + 1b) + ((1+b)^2)/(b + 1c) + ((1+c)^2)/(c + 1a) (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2(a+b+c) = 6. Равенство же достигается при a = b = c = 1 .

6