Задача №17744

Положительные действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=3\text{.}$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

$$\frac{(1+a{)}^2}{a+\frac{1}{b}}+\frac{(1+b{)}^2}{b+\frac{1}{c}}+\frac{(1+c{)}^2}{c+\frac{1}{a}}.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим справедливо

$$(1+a{)}^2=1+2a+a^2⩽1+\left(b+\frac{1}{b}\right)a+a^2=1+\frac{a}{b}+ab+a^2=(a+b)\left(a+\frac{1}{b}\right).$$

Аналогично, $(1+b{)}^2⩽(b+c)\left(b+\frac{1}{c}\right)$ и $(1+c{)}^2⩽(c+a)\left(c+\frac{1}{a}\right)\text{.}$ Тогда

$$\frac{(1+a{)}^2}{a+\frac{1}{b}}+\frac{(1+b{)}^2}{b+\frac{1}{c}}+\frac{(1+c{)}^2}{c+\frac{1}{a}}⩽(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)=6.$$

Равенство же достигается при $a=b=c=1\text{.}$