Задача №17743

На сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ соответственно. Через точку $D$ пересечения этих окружностей (отличную от $A$) проведена прямая, пересекающая ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ в точках $E$ и $F$ соответственно, причём $E$ и $F$ лежат по одну сторону от $AD$ (и отличны от $D$). Расстояние от $A$ до середины $M$ стороны $BC$ равно 3, расстояние от $A$ до середины $N$ отрезка $EF$ равно 2. Найдите $MN\text{.}$

Поскольку четырёхугольник $ABDE$ вписанный, $\angle AEF=180^{\circ }-\angle AED=\angle ABD\text{.}$ Поскольку же четырёхугольник $ADCF$ вписанный, $\angle AFE=\angle AFD=\angle ACD=\angle ACB\text{.}$ Стало быть, треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны, откуда $AB/AM=AE/AN$ и $\angle BAM=\angle EAN\text{.}$ Из равенства $\angle BAM=\angle EAN$ также следует равенство $\angle BAE=\angle MAN\text{.}$ Стало быть, подобны и треугольники $ABE$ и $AMN\text{.}$ Поскольку же $\angle AEB=90^{\circ }\text{,}$ получаем $\angle ANM=90^{\circ }\text{,}$ то есть $MN=\sqrt{A{M}^2-A{N}^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\text{.}$