На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности _1 и _2 соответственно. Через точку D пересечения этих окружностей (отличную от A ) проведена прямая, пересекающая _1 и _2 в точках E и F соответственно, причём E и F лежат по одну сторону от AD (и отличны от D ). Расстояние от A до середины M стороны BC равно 3, расстояние от A до середины N отрезка EF равно 2. Найдите MN .

Поскольку четырёхугольник ABDE вписанный, AEF = 180^ - AED = ABD . Поскольку же четырёхугольник ADCF вписанный, AFE = AFD = ACD = ACB . Стало быть, треугольники ABC и AEF подобны, откуда AB/AM = AE/AN и BAM = EAN . Из равенства BAM = EAN также следует равенство BAE = MAN . Стало быть, подобны и треугольники ABE и AMN . Поскольку же AEB = 90^ , получаем ANM = 90^ , то есть MN = sqrt(AM^2 - AN^2) = sqrt(9 - 4) = sqrt(5) .

\( \sqrt{5} \)