Задача №17740

Положительные действительные числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенствам

$$a^3=a+1\text{и}{b}^6=b+3a.$$

Определите, какое из чисел $a$ и $b$ больше другого.

При $0<a⩽1$ имеем $a^3⩽1<a+1\text{,}$ стало быть, $a>1\text{.}$ Далее, $a^6=a^2+2a+1\text{,}$ откуда

$$a^6-a=a^2+a+1=(a-1{)}^2+3a>3a=b^6-b.$$

Стало быть,

$$(a-b)(a^5+a^{4}b+a^3{b}^2+a^2{b}^3+a{b}^4+b^5-1)>0.$$

Вторая скобка положительна, поскольку $a>1\text{.}$ Значит, $a>b\text{.}$