Задача №17737

Положительные действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют равенству $a^2+b^2+c^2=12\text{.}$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

$$\sqrt{1+a^3}+\sqrt{1+b^3}+\sqrt{1+c^3}.$$

Заметим, что при положительном $x$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$\sqrt{1+x^3}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)}⩽\frac{2+x^2}{2}.$$

Стало быть,

$$\sqrt{1+a^3}+\sqrt{1+b^3}+\sqrt{1+c^3}⩾\frac{2+a^2}{2}+\frac{2+b^2}{2}+\frac{2+c^2}{2}=3+6=9.$$