Положительные действительные числа a , b , c удовлетворяют равенству a^2 + b^2 + c^2 = 12 . Найдите наибольшее возможное значение выражения sqrt(1 + a^3) + sqrt(1 + b^3) + sqrt(1 + c^3).

Заметим, что при положительном x по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим sqrt(1 + x^3) = sqrt((1 + x)(1 - x + x^2)) (2 + x^2)/(2). Стало быть, sqrt(1 + a^3) + sqrt(1 + b^3) + sqrt(1 + c^3) (2 + a^2)/(2) + (2 + b^2)/(2) + (2 + c^2)/(2) = 3 + 6 = 9.

9