Положим для каждого натурального n A_n = 1 + (1)/(2) + (1)/(3) + + (1)/(n) и B_n = A_1 + A_2 + A_3 + + A_n. Найдите (B_7 + 7)/(A_7) .

Задача №17733: Числа и последовательности

Положим для каждого натурального $n$

A_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} и B_{n} = A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{n} .

Найдите $\frac{B _{7} + 7}{A _{7}} .$

Заметим, что

B_{n} = n + \frac{n - 1}{2} + \frac{n - 2}{3} + \dots + \frac{2}{n - 1} + \frac{1}{n} =

= (n + 1 - 1) + (\frac{n + 1}{2} - 1) + (\frac{n + 1}{3} - 1) + \dots + (\frac{n + 1}{n - 1} - 1) + (\frac{n + 1}{n} - 1) =

= (n + 1) (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) - n = (n + 1) A_{n} - n .

Стало быть, $\frac{B _{n} + n}{A _{n}} = n + 1$ и, в частности, $\frac{B _{7} + 7}{A _{7}} = 8 .$

Положим для каждого натурального $n$

A_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} и B_{n} = A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{n} .

Найдите $\frac{B _{7} + 7}{A _{7}} .$

Заметим, что

B_{n} = n + \frac{n - 1}{2} + \frac{n - 2}{3} + \dots + \frac{2}{n - 1} + \frac{1}{n} =

= (n + 1 - 1) + (\frac{n + 1}{2} - 1) + (\frac{n + 1}{3} - 1) + \dots + (\frac{n + 1}{n - 1} - 1) + (\frac{n + 1}{n} - 1) =

= (n + 1) (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) - n = (n + 1) A_{n} - n .

Стало быть, $\frac{B _{n} + n}{A _{n}} = n + 1$ и, в частности, $\frac{B _{7} + 7}{A _{7}} = 8 .$