Задача №17731

Дан куб с основаниями $ABCD\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ Длина ребра этого куба равна 1. На диагонали $AC$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$ так, что $AE=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\text{.}$ Найдите площадь сечения данного куба, проходящего через его центр $O$ и перпендикулярного прямой $OE\text{.}$

Пусть $E,F,G$ — середины рёбер $B{B}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ соответственно. Поскольку $EF\perp OE\text{,}$ точки $E$ и $F$ принадлежат сечению. Пусть $H$ — точка пересечения плоскости сечения с прямой $C{C}^{\prime }\text{.}$ Пусть $K$ и $L$ — точки пересечения этой плоскости с рёбрами $BC$ и $CD$ соответственно.
Поскольку $\frac{1}{\sqrt{2}}-AE=\frac{1}{2}\text{,}$ угол между $OE$ и плоскостью $EFG$ равен $45^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $\angle HOG=45^{\circ }\text{,}$ откуда $HG=OG=1/\sqrt{2}$ и $HC=HG-CG=1/\sqrt{2}-1/2\text{.}$ Стало быть, коэффициент подобия $k$ треугольников $KLH$ и $EFH$ равен

Площадь треугольника $EFH$ равна $\frac{1}{2}EF\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$ Стало быть, площадь трапеции $EFLK$ равна

Площадь же всего сечения в два раза больше площади трапеции $EFLK\text{,}$ то есть она равна $\frac{4-\sqrt{2}}{2}=2-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$