Дан куб с основаниями ABCD , A'B'C'D' и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' , DD' . Длина ребра этого куба равна 1. На диагонали AC основания ABCD отмечена точка E так, что AE = (sqrt(2) - 1)/(2) . Найдите площадь сечения данного куба, проходящего через его центр O и перпендикулярного прямой OE .

Пусть E, F, G — середины рёбер BB' , DD' , CC' соответственно. Поскольку EF OE , точки E и F принадлежат сечению. Пусть H — точка пересечения плоскости сечения с прямой CC' . Пусть K и L — точки пересечения этой плоскости с рёбрами BC и CD соответственно. Поскольку (1)/(sqrt(2)) - AE = (1)/(2) , угол между OE и плоскостью EFG равен 45^ . Следовательно, HOG = 45^ , откуда HG = OG = 1/sqrt(2) и HC = HG - CG = 1/sqrt(2) - 1/2 . Стало быть, коэффициент подобия k треугольников KLH и EFH равен k = (1/sqrt(2) - 1/2)/(1/sqrt(2)) = (sqrt(2) - 1)/(sqrt(2)). Площадь треугольника EFH равна (1)/(2)EF * OH = (1)/(2) * sqrt(2) * 1 = (1)/(sqrt(2)) . Стало быть, площадь трапеции EFLK равна (1)/(sqrt(2))(1 - k^2) = (2 - (sqrt(2) - 1)^2)/(2sqrt(2)) = (2sqrt(2) - 1)/(2sqrt(2)) = (4 - sqrt(2))/(4). Площадь же всего сечения в два раза больше площади трапеции EFLK , то есть она равна (4 - sqrt(2))/(2) = 2 - (sqrt(2))/(2) .

\( 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \)