Положительные действительные числа a , b , c удовлетворяют равенству a + b + c = 1 . Найдите наименьшее возможное значение выражения (sqrt((1-a)(1-b)) + sqrt((1-b)(1-c)) + sqrt((1-c)(1-a)))/(1 + sqrt(ab) + sqrt(bc) + sqrt(ca)).

Заметим, что справедливо неравенство sqrt((1-a)(1-b)) c + sqrt(ab) . Действительно, sqrt((1-a)(1-b)) c + sqrt(ab) 1 - a - b + ab c^2 + 2csqrt(ab) + ab c c^2 + 2csqrt(ab) 1 c + 2sqrt(ab) a + b 2sqrt(ab), что верно. Причём равенство достигается ровно тогда, когда a = b . Аналогично, справедливо sqrt((1-b)(1-c)) a + sqrt(bc) и sqrt((1-c)(1-a)) b + sqrt(ca) . Стало быть, sqrt((1-a)(1-b)) + sqrt((1-b)(1-c)) + sqrt((1-c)(1-a)) c + sqrt(ab) + a + sqrt(bc) + b + sqrt(ca) = 1 + sqrt(ab) + sqrt(bc) + sqrt(ca). В частности, искомый минимум не превосходит 1. Равенство же достигается при a = b = c = 1/3 .

1