Задача №17730

Положительные действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=1\text{.}$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{\sqrt{(1-a)(1-b)}+\sqrt{(1-b)(1-c)}+\sqrt{(1-c)(1-a)}}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}.$$

Заметим, что справедливо неравенство $\sqrt{(1-a)(1-b)}⩾c+\sqrt{ab}\text{.}$ Действительно,

$$\sqrt{(1-a)(1-b)}⩾c+\sqrt{ab}⟺1-a-b+ab⩾c^2+2c\sqrt{ab}+ab⟺$$ $$⟺c⩾c^2+2c\sqrt{ab}⟺1⩾c+2\sqrt{ab}⟺a+b⩾2\sqrt{ab},$$

что верно. Причём равенство достигается ровно тогда, когда $a=b\text{.}$
Аналогично, справедливо $\sqrt{(1-b)(1-c)}⩾a+\sqrt{bc}$ и $\sqrt{(1-c)(1-a)}⩾b+\sqrt{ca}\text{.}$ Стало быть,

$$\sqrt{(1-a)(1-b)}+\sqrt{(1-b)(1-c)}+\sqrt{(1-c)(1-a)}⩾$$ $$⩾c+\sqrt{ab}+a+\sqrt{bc}+b+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$$

В частности, искомый минимум не превосходит 1. Равенство же достигается при $a=b=c=1/3\text{.}$