Внутри окружности радиуса 5 отмечена точка E , через которую проведены хорды AB и CD , перпендикулярные друг другу. Найдите все возможные значения расстояния от вершины F прямоугольника AECF до центра O окружности , если известно, что OE = 1 .

Проведём через точку O прямую _1 , параллельную AB , и прямую _2 , параллельную CD . Пусть E_1 — ортогональная проекция точек E и C на _1 , E_2 — ортогональная проекция точек E и A на _2 , F_1 — ортогональная проекция точек F и A на _1 , F_2 — ортогональная проекция точек F и C на _2 . Тогда OE^2 = OE_1^2 + OE_2^2 и OF^2 = OF_1^2 + OF_2^2. При этом OE_1^2 + OF_2^2 = OC^2 = 25 и OF_1^2 + OE_2^2 = OA^2 = 25. Стало быть, OE^2 + OF^2 = (OE_1^2 + OF_2^2) + (OF_1^2 + OE_2^2) = 50 , откуда OF^2 = 50 - OE^2 = 49 , то есть OF = 7 .

7