Задача №17729

Внутри окружности $\Omega$ радиуса 5 отмечена точка $E\text{,}$ через которую проведены хорды $AB$ и $CD\text{,}$ перпендикулярные друг другу. Найдите все возможные значения расстояния от вершины $F$ прямоугольника $AECF$ до центра $O$ окружности $\Omega \text{,}$ если известно, что $OE=1\text{.}$

Проведём через точку $O$ прямую ${\ell }_1\text{,}$ параллельную $AB\text{,}$ и прямую ${\ell }_2\text{,}$ параллельную $CD\text{.}$ Пусть $E_1$ — ортогональная проекция точек $E$ и $C$ на ${\ell }_1\text{,}$ $E_2$ — ортогональная проекция точек $E$ и $A$ на ${\ell }_2\text{,}$ $F_1$ — ортогональная проекция точек $F$ и $A$ на ${\ell }_1\text{,}$ $F_2$ — ортогональная проекция точек $F$ и $C$ на ${\ell }_2\text{.}$ Тогда

При этом

Стало быть, $O{E}^2+O{F}^2=(O{E}_1^2+O{F}_2^2)+(O{F}_1^2+O{E}_2^2)=50\text{,}$ откуда $O{F}^2=50-O{E}^2=49\text{,}$ то есть $OF=7\text{.}$