Строго возрастающая последовательность a_1, a_2, a_3, натуральных чисел удовлетворяет при каждом натуральном n соотношению a_(n+2) sqrt(a_n^2 + 2a_n + 2a_(n+1) + 2). Найдите все возможные значения a_(25) , если известно, что a_1 = 1 .

Поскольку a_n + 1 a_(n+1) , имеем a_(n+2) sqrt((a_n + 1)^2 + 2a_(n+1) + 1) a_(n+1) + 1 . Но a_(n+1) + 1 a_(n+2) . Стало быть, для всех n in N справедливо a_(n+2) = a_(n+1) + 1 . При n = 1 имеем a_2 + 1 = a_3 sqrt((a_1 + 1)^2 + 2a_2 + 1) , откуда a_2^2 + 2a_2 + 1 (a_1 + 1)^2 + 2a_2 + 1 , то есть a_2 a_1 + 1 . Стало быть, a_2 = a_1 + 1 и для всех n in N справедливо a_(n+1) = a_n + 1 . Таким образом, a_n = n и, в частности, a_(25) = 25 .

25