Задача №17726

Строго возрастающая последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ натуральных чисел удовлетворяет при каждом натуральном $n$ соотношению

Найдите все возможные значения $a_{25}\text{,}$ если известно, что $a_1=1\text{.}$

Поскольку $a_n+1⩽a_{n+1}\text{,}$ имеем $a_{n+2}⩽\sqrt{(a_n+1{)}^2+2a_{n+1}+1}⩽a_{n+1}+1\text{.}$ Но $a_{n+1}+1⩽a_{n+2}\text{.}$ Стало быть, для всех $n\in \mathbb{N}$ справедливо $a_{n+2}=a_{n+1}+1\text{.}$ При $n=1$ имеем $a_2+1=a_3⩽\sqrt{(a_1+1{)}^2+2a_2+1}\text{,}$ откуда $a_2^2+2a_2+1⩽(a_1+1{)}^2+2a_2+1\text{,}$ то есть $a_2⩽a_1+1\text{.}$ Стало быть, $a_2=a_1+1$ и для всех $n\in \mathbb{N}$ справедливо $a_{n+1}=a_n+1\text{.}$ Таким образом, $a_n=n$ и, в частности, $a_{25}=25\text{.}$