Положительные действительные числа a_1, a_2, a_3, , a_7 удовлетворяют неравенствам a_i + a_j a_(i+j) при всех натуральных i, j , таких что i + j 7 . Найдите наименьшее возможное значение выражения (a_1 + (a_2)/(2) + (a_3)/(3) + (a_4)/(4) + (a_5)/(5) + (a_6)/(6) + (a_7)/(7))/(a_7).

Заметим, что a_1 a_1 и что a_1 + (a_2)/(2) = (a_1 + a_1)/(2) + (a_2)/(2) a_2 . Предположим, для каждого k n справедливо неравенство _(j=1)^(k) (a_j)/(j) a_k. Просуммируем эти неравенства по k = 1, 2, , n . Получим na_1 + (n-1)(a_2)/(2) + (n-2)(a_3)/(3) + + 2(a_(n-1))/(n-1) + (a_n)/(n) a_1 + a_2 + + a_n. Прибавим к обеим частям a_1 + a_2 + + a_n . Получим (n+1)(a_1 + (a_2)/(2) + (a_3)/(3) + + (a_n)/(n)) 2(a_1 + a_2 + + a_n). Заметим, что 2(a_1 + a_2 + + a_n) = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + + (a_n + a_1) na_(n+1) . Стало быть, a_1 + (a_2)/(2) + (a_3)/(3) + + (a_n)/(n) (na_(n+1))/(n+1) = a_(n+1) - (a_(n+1))/(n+1), то есть справедливо также неравенство _(j=1)^(n+1) (a_j)/(j) a_(n+1). Тогда a_1 + + (a_7)/(7) a_7 , то есть значение исходного выражения не меньше 1. Равенство достигается, например, при a_k = k ( k = 1, , 7 ): все неравенства a_i + a_j a_(i+j) обращаются в равенства. Минимум равен 1. **Примечание.** В официальном решении в качестве примера достижения минимума указан набор a_1 = = a_7 = 1 , однако для него значение выражения равно 1 + (1)/(2) + + (1)/(7) ~ 2,59 . Корректный пример — a_k = k ; оценка снизу и ответ (1) в официальном решении верны.

1