Задача №17723

Положительные действительные числа $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_7$ удовлетворяют неравенствам

$$a_i+a_j⩾a_{i+j}$$

при всех натуральных $i,j\text{,}$ таких что $i+j⩽7\text{.}$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}+\frac{a_6}{6}+\frac{a_7}{7}}{a_7}.$$

Заметим, что $a_1⩾a_1$ и что $a_1+\frac{a_2}{2}=\frac{a_1+a_1}{2}+\frac{a_2}{2}⩾a_2\text{.}$ Предположим, для каждого $k⩽n$ справедливо неравенство

$$\sum _{j=1}^k\frac{a_j}{j}⩾a_k.$$

Просуммируем эти неравенства по $k=1,2,\dots ,n\text{.}$ Получим

$$n{a}_1+(n-1)\frac{a_2}{2}+(n-2)\frac{a_3}{3}+\dots +2\frac{a_{n-1}}{n-1}+\frac{a_n}{n}⩾a_1+a_2+\dots +a_n.$$

Прибавим к обеим частям $a_1+a_2+\dots +a_n\text{.}$ Получим

$$(n+1)\left(a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\dots +\frac{a_n}{n}\right)⩾2(a_1+a_2+\dots +a_n).$$

Заметим, что $2(a_1+a_2+\dots +a_n)=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\dots +(a_n+a_1)⩾n{a}_{n+1}\text{.}$ Стало быть,

$$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\dots +\frac{a_n}{n}⩾\frac{n{a}_{n+1}}{n+1}=a_{n+1}-\frac{a_{n+1}}{n+1},$$

то есть справедливо также неравенство

$$\sum _{j=1}^{n+1}\frac{a_j}{j}⩾a_{n+1}.$$

Тогда $a_1+\dots +\frac{a_7}{7}⩾a_7\text{,}$ то есть значение исходного выражения не меньше 1. Равенство достигается, например, при $a_k=k$ ($k=1,\dots ,7$): все неравенства $a_i+a_j⩾a_{i+j}$ обращаются в равенства. Минимум равен 1.

Примечание. В официальном решении в качестве примера достижения минимума указан набор $a_1=\dots =a_7=1\text{,}$ однако для него значение выражения равно $1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{7}\approx 2,59\text{.}$ Корректный пример — $a_k=k\text{;}$ оценка снизу и ответ (1) в официальном решении верны.