Задача №17722

На сторонах $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D,E,F$ соответственно. На $BD$ и на $FC$ как на диаметрах построены окружности. Эти окружности касаются отрезка $AE$ в одной и той же точке. Найдите $DF\text{,}$ если известно, что $AB:AC=2:3\text{,}$ $BD:FC=1:2$ и что $BC=12\text{.}$

Пусть $T$ — точка касания окружностей с отрезком $AE\text{.}$ Тогда $AB\cdot AD=A{T}^2=AC\cdot AF\text{,}$ откуда следует, что треугольники $ABC$ и $AFD$ подобны. Найдём отношение $BD:AF\text{.}$ Пусть $BD=d\text{,}$ $AF=x\text{.}$ Тогда $FC=2d\text{,}$ $AD=AF\cdot AC/AB=\frac{3}{2}x\text{.}$ Получаем

Сокращая на $x\text{,}$ приходим к равенству $\frac{5}{4}x=\frac{1}{2}d\text{,}$ откуда

Итак,