На сторонах AB , BC , AC треугольника ABC отмечены точки D, E, F соответственно. На BD и на FC как на диаметрах построены окружности. Эти окружности касаются отрезка AE в одной и той же точке. Найдите DF , если известно, что AB : AC = 2 : 3 , BD : FC = 1 : 2 и что BC = 12 .

Пусть T — точка касания окружностей с отрезком AE . Тогда AB * AD = AT^2 = AC * AF , откуда следует, что треугольники ABC и AFD подобны. Найдём отношение BD : AF . Пусть BD = d , AF = x . Тогда FC = 2d , AD = AF * AC/AB = (3)/(2)x . Получаем (3)/(2)x((3)/(2)x + d) = x(x + 2d). Сокращая на x , приходим к равенству (5)/(4)x = (1)/(2)d , откуда (BD)/(AF) = (d)/(x) = (5)/(2). Итак, DF = BC * (AF)/(AB) = BC * (AF)/(AD + BD) = BC * (1)/(ADAF + BDAF) = 12 * (1)/(32 + 52) = 3.

3