Задача №17719

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n⩾3$ равенству

Найдите $\sqrt[2024]{a_{2025}}\text{,}$ если известно, что $a_1=1$ и $a_2=4\text{.}$

Положим $b_n=a_n/a_{n-1}\text{.}$ Тогда $b_2=4$ и $b_n=b_{n-1}+(-1{)}^n\cdot 3$ при $n⩾3\text{.}$ Стало быть, $b_{2k}=4$ и $b_{2k+1}=1\text{,}$ откуда ввиду равенства $a_n=b_n{a}_{n-1}$ получаем, что $a_{2k+1}=a_{2k}$ и $a_{2k+2}=4a_{2k+1}\text{.}$ Но тогда $a_{2k}=a_{2k+1}=4^k=2^{2k}\text{.}$ То есть $a_{2025}=2^{2024}$ и $\sqrt[2024]{a_{2025}}=2\text{.}$