Дана последовательность a_1, a_2, a_3, действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n 3 равенству a_n = (-1)^n * 3 * a_(n-1) + (a_(n-1)^2)/(a_(n-2)). Найдите [2024]a_(2025) , если известно, что a_1 = 1 и a_2 = 4 .

Положим b_n = a_n/a_(n-1) . Тогда b_2 = 4 и b_n = b_(n-1) + (-1)^n * 3 при n 3 . Стало быть, b_(2k) = 4 и b_(2k+1) = 1 , откуда ввиду равенства a_n = b_n a_(n-1) получаем, что a_(2k+1) = a_(2k) и a_(2k+2) = 4a_(2k+1) . Но тогда a_(2k) = a_(2k+1) = 4^k = 2^(2k) . То есть a_(2025) = 2^(2024) и [2024]a_(2025) = 2 .

2