Последовательность действительных чисел a_1, a_2, a_3, , a_(2025) удовлетворяет неравенствам 2sqrt(a_n - (n-1)) a_(n+1) - (n-1) при каждом n = 1, 2, 3, , 2024 и неравенству 2sqrt(a_(2025) - 2024) a_1 + 1. Найдите все возможные значения a_(2025) .

Из условия следует, что при каждом n = 1, 2, 3, , 2025 разность a_n - (n-1) неотрицательна. Стало быть, по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим sqrt(a_n - (n-1)) (a_(n+1) - (n-1))/(2) = ((a_(n+1) - n) + 1)/(2) sqrt(a_(n+1) - n) при каждом n = 1, 2, 3, , 2024 и sqrt(a_(2025) - 2024) (a_1 + 1)/(2) sqrt(a_1). Получаем цепочку неравенств sqrt(a_1) sqrt(a_2 - 1) sqrt(a_3 - 2) sqrt(a_(2025) - 2024) sqrt(a_1). Стало быть, все эти неравенства должны быть равенствами, что достигается ровно тогда, когда a_(n+1) - n = 1 при n = 1, 2, 3, , 2024 и a_1 = 1 . Стало быть, при любом n имеем равенство a_n = n и, в частности, a_(2025) = 2025 .

2025