Задача №17716

Последовательность действительных чисел $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{2025}$ удовлетворяет неравенствам

$$2\sqrt{a_n-(n-1)}⩾a_{n+1}-(n-1)$$

при каждом $n=1,2,3,\dots ,2024$ и неравенству

$$2\sqrt{a_{2025}-2024}⩾a_1+1.$$

Найдите все возможные значения $a_{2025}\text{.}$

Из условия следует, что при каждом $n=1,2,3,\dots ,2025$ разность $a_n-(n-1)$ неотрицательна. Стало быть, по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$\sqrt{a_n-(n-1)}⩾\frac{a_{n+1}-(n-1)}{2}=\frac{(a_{n+1}-n)+1}{2}⩾\sqrt{a_{n+1}-n}$$

при каждом $n=1,2,3,\dots ,2024$ и

$$\sqrt{a_{2025}-2024}⩾\frac{a_1+1}{2}⩾\sqrt{a_1}.$$

Получаем цепочку неравенств

$$\sqrt{a_1}⩾\sqrt{a_2-1}⩾\sqrt{a_3-2}⩾\dots ⩾\sqrt{a_{2025}-2024}⩾\sqrt{a_1}.$$

Стало быть, все эти неравенства должны быть равенствами, что достигается ровно тогда, когда $a_{n+1}-n=1$ при $n=1,2,3,\dots ,2024$ и $a_1=1\text{.}$ Стало быть, при любом $n$ имеем равенство $a_n=n$ и, в частности, $a_{2025}=2025\text{.}$