Задача №17712

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ равенству

$$a_1+a_2+a_3+\dots +a_n=2a_n-1.$$

Последовательность $b_1,b_2,b_3,\dots$ определяется соотношениями $b_1=2$ и $b_{n+1}=b_n+a_n\text{,}$ $n\in \mathbb{N}\text{.}$ Найдите $b_1+b_2+b_3+\dots +b_{2025}-2^{2025}\text{.}$

При $n=1$ получаем $a_1=1\text{.}$ При $n⩾2$ имеем $a_n=(2a_n-1)-(2a_{n-1}-1)\text{,}$ откуда $a_n=2a_{n-1}=2^{n-1}\text{.}$ Далее, $b_{n+1}=a_n+a_{n-1}+\dots +a_1+b_1=2a_n-1+b_1=2^n+1\text{.}$ Стало быть,

$$b_1+b_2+b_3+\dots +b_{2025}-2^{2025}=2025+2^0+2^1+2^2+\dots +2^{2024}-2^{2025}=$$ $$=2025+(2^{2025}-1)-2^{2025}=2024.$$