Дана последовательность a_1, a_2, a_3, действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n равенству a_1 + a_2 + a_3 + + a_n = 2a_n - 1. Последовательность b_1, b_2, b_3, определяется соотношениями b_1 = 2 и b_(n+1) = b_n + a_n , n in N . Найдите b_1 + b_2 + b_3 + + b_(2025) - 2^(2025) .

При n = 1 получаем a_1 = 1 . При n 2 имеем a_n = (2a_n - 1) - (2a_(n-1) - 1) , откуда a_n = 2a_(n-1) = 2^(n-1) . Далее, b_(n+1) = a_n + a_(n-1) + + a_1 + b_1 = 2a_n - 1 + b_1 = 2^n + 1 . Стало быть, b_1 + b_2 + b_3 + + b_(2025) - 2^(2025) = 2025 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + + 2^(2024) - 2^(2025) = = 2025 + (2^(2025) - 1) - 2^(2025) = 2024.

2024