Дан тетраэдр ABCD . Рёбра AC и BD перпендикулярны прямой, проходящей через их середины. Найдите все возможные значения AB + BC , если известно, что AD + DC = 1 .

Пусть M — середина AC и N — середина BD . Поскольку MN является одновременно медианой и высотой в каждом из треугольников ACN и BDM , имеем AN = NC и BM = MD . Из равенства AN = NC ввиду формулы для медианы треугольника следует, что (2AB^2 + 2AD^2 - BD^2)/(4) = AN^2 = NC^2 = (2BC^2 + 2CD^2 - BD^2)/(4), откуда видим, что AB^2 + AD^2 = BC^2 + CD^2 . Аналогично, из равенства BM = MD следует равенство AB^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2 . Из полученных двух соотношений следует, что AB = CD и BC = AD . В частности, AB + BC = CD + AD = 1 .

1