Задача №17710

Дан тетраэдр $ABCD\text{.}$ Рёбра $AC$ и $BD$ перпендикулярны прямой, проходящей через их середины. Найдите все возможные значения $AB+BC\text{,}$ если известно, что $AD+DC=1\text{.}$

Пусть $M$ — середина $AC$ и $N$ — середина $BD\text{.}$ Поскольку $MN$ является одновременно медианой и высотой в каждом из треугольников $ACN$ и $BDM\text{,}$ имеем $AN=NC$ и $BM=MD\text{.}$ Из равенства $AN=NC$ ввиду формулы для медианы треугольника следует, что

откуда видим, что $A{B}^2+A{D}^2=B{C}^2+C{D}^2\text{.}$ Аналогично, из равенства $BM=MD$ следует равенство $A{B}^2+B{C}^2=A{D}^2+C{D}^2\text{.}$ Из полученных двух соотношений следует, что $AB=CD$ и $BC=AD\text{.}$ В частности, $AB+BC=CD+AD=1\text{.}$