Дана последовательность a_1, a_2, a_3, действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n равенству a_(n+1) = (5 - a_n)/(4). Пусть S_n обозначает сумму первых n членов этой последовательности: S_n = a_1 + + a_n . Найдите наименьшее значение n , при котором выполняется неравенство |S_n - n - 8| < (1)/(1000), если известно, что a_1 = 11 .

Положим b_n = a_n - 1 . Тогда b_(n+1) = -b_n/4 и b_1 = 10 , откуда S_n - n = b_1 + + b_n = b_1(1 - (-1/4)^n)/(1 + 1/4) = (10)/(5/4)(1 - (-1/4)^n) = 8 - 8 * (-1/4)^n. Стало быть, |S_n - n - 8| = 8/4^n = 2^(3-2n) . Это строго убывающая последовательность и 2^(3 - 2 * 6) = 2^(-9) = 512^(-1) > 1000^(-1) > 2048^(-1) = 2^(-11) = 2^(3 - 2 * 7).

7