Задача №17705

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ равенству

$$a_{n+1}=\frac{5-a_n}{4}.$$

Пусть $S_n$ обозначает сумму первых $n$ членов этой последовательности: $S_n=a_1+\dots +a_n\text{.}$ Найдите наименьшее значение $n\text{,}$ при котором выполняется неравенство

$$|S_n-n-8|<\frac{1}{1000},$$

если известно, что $a_1=11\text{.}$

Положим $b_n=a_n-1\text{.}$ Тогда $b_{n+1}=-b_n/4$ и $b_1=10\text{,}$ откуда

$$S_n-n=b_1+\dots +b_n=b_1\frac{1-(-1/4{)}^n}{1+1/4}=\frac{10}{5/4}(1-(-1/4{)}^n)=8-8\cdot (-1/4{)}^n.$$

Стало быть, $|S_n-n-8|=8/4^n=2^{3-2n}\text{.}$ Это строго убывающая последовательность и

$$2^{3-2\cdot 6}=2^{-9}=512^{-1}>1000^{-1}>2048^{-1}=2^{-11}=2^{3-2\cdot 7}.$$