Задача №17703

Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно $\sqrt{2}\text{,}$ а до бокового ребра — $\sqrt{3}\text{.}$ Найдите объём пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $H$ — основание высоты, $A$ — одна из вершин основания, $M$ — середина одного из ребер основания. Обозначим также через $a$ длину ребра основания и через $h$ высоту пирамиды. Из условия следует, что расстояние от середины отрезка $SH$ до $SM$ равно $\sqrt{2}\text{,}$ а до $SA$ — $\sqrt{3}\text{.}$ Из подобия треугольников получаем

То есть

Стало быть, искомый объём равен $\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 2\sqrt{6}=32\sqrt{6}\text{.}$