Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно sqrt(2), а до бокового ребра — sqrt(3). Найдите объём пирамиды.

Пусть S — вершина пирамиды, H — основание высоты, A — одна из вершин основания, M — середина одного из ребер основания. Обозначим также через a длину ребра основания и через h высоту пирамиды. Из условия следует, что расстояние от середины отрезка SH до SM равно sqrt(2), а до SA — sqrt(3). Из подобия треугольников получаем (sqrt(2))/(h/2)=(a/2)/(sqrt((a/2)^2+h^2)), (sqrt(3))/(h/2)=(a/sqrt(2))/(sqrt(a^2/2+h^2)). То есть cases(a^2/4+h^2)/(a^2h^2)=(1)/(32) (a^2/2+h^2)/(a^2h^2)=(1)/(24)cases cases(1)/(4h^2)+(1)/(a^2)=(1)/(32) (1)/(2h^2)+(1)/(a^2)=(1)/(24)cases cases(1)/(h^2)=(1)/(24) (1)/(a^2)=(1)/(48)cases casesh=2sqrt(6) a^2=48cases Стало быть, искомый объём равен (1)/(3)a^2h=(1)/(3)* 48* 2sqrt(6)=32sqrt(6).

32\sqrt{6}