Задача №17701

В треугольнике $ABC$ угол $A$ является тупым. На стороне $BC$ отмечена точка $D$ таким образом, что $AC=CD\text{.}$ При этом окружность, описанная около треугольника $ACD\text{,}$ касается прямой $AB$ в точке $A\text{.}$ На прямой $AD$ отмечена точка $E$ таким образом, что $CE=EA=AB\text{.}$ Найдите отношение $BC:AB\text{.}$

Поскольку треугольник $ACD$ равнобедренный, угол $\angle CAD$ является острым. Аналогично, из равнобедренности треугольника $AEC$ следует, что угол $\angle CAE$ является острым. Стало быть, точки $E$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AC\text{.}$ Далее, у треугольников $ACD$ и $AEC$ общий угол при основаниях. Стало быть, $\angle AEC=\angle DCA\text{.}$ Но $\angle DCA=\angle DAB\text{,}$ так как угол $DCA$ опирается на дугу $AD\text{,}$ тогда как прямая $AB$ является касательной. Получаем равенство $\angle AEC=\angle DAB=\angle EAB\text{,}$ из которого следует, что $AB\parallel CE\text{.}$ Учитывая, что $AB=CE\text{,}$ видим, что $ABEC$ — параллелограмм. Тогда $BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ откуда по теореме о секущей и касательной получаем, что $A{B}^2=\frac{1}{2}B{C}^2\text{.}$ Стало быть, $BC:AB=\sqrt{2}\text{.}$