В треугольнике ABC угол A является тупым. На стороне BC отмечена точка D таким образом, что AC=CD. При этом окружность, описанная около треугольника ACD, касается прямой AB в точке A. На прямой AD отмечена точка E таким образом, что CE=EA=AB. Найдите отношение BC:AB.

Поскольку треугольник ACD равнобедренный, угол CAD является острым. Аналогично, из равнобедренности треугольника AEC следует, что угол CAE является острым. Стало быть, точки E и D лежат по одну сторону от прямой AC. Далее, у треугольников ACD и AEC общий угол при основаниях. Стало быть, AEC= DCA. Но DCA= DAB, так как угол DCA опирается на дугу AD, тогда как прямая AB является касательной. Получаем равенство AEC= DAB= EAB, из которого следует, что AB CE. Учитывая, что AB=CE, видим, что ABEC — параллелограмм. Тогда BD=(1)/(2)BC, откуда по теореме о секущей и касательной получаем, что AB^2=(1)/(2)BC^2. Стало быть, BC:AB=sqrt(2).

\sqrt{2}