Решите неравенство _(x-1)(2x-5)+_(4x^2-20x+25)(x^2-2x+1)-_(2x-5)(4x^2-20x+25) 0.

Задача №17699: Неравенство

Решите неравенство

lo g_{x - 1} (2 x - 5) + lo g_{4 x^{2} - 20 x + 25} (x^{2} - 2 x + 1) - lo g_{2 x - 5} (4 x^{2} - 20 x + 25) ⩽ 0.

ОДЗ: $x > \frac{5}{2},$ $x \neq = 3 .$ При $x$ принадлежащем ОДЗ справедливо $x - 1 > 1$ и, стало быть, при $x$ из ОДЗ имеем

lo g_{x - 1} (2 x - 5) + lo g_{4 x^{2} - 20 x + 25} (x^{2} - 2 x + 1) - lo g_{2 x - 5} (4 x^{2} - 20 x + 25) ⩽ 0 ⟺

⟺ lo g_{x - 1} (2 x - 5) + lo g_{2 x - 5} (x - 1) - 2 ⩽ 0 ⟺ \frac{( lo g _{x - 1} ( 2 x - 5 ) - 1 ) ^{2}}{lo g _{x - 1} ( 2 x - 5 )} ⩽ 0 ⟺

⟺ [lo g_{x - 1} (2 x - 5) = 1 lo g_{x - 1} (2 x - 5) < 0 ⟺ [2 x - 5 = x - 1 2 x - 5 < 1 ⟺ [x = 4 x < 3

Учитывая ОДЗ, получаем $x \in (\frac{5}{2}, 3) \cup {4} .$

Решите неравенство

lo g_{x - 1} (2 x - 5) + lo g_{4 x^{2} - 20 x + 25} (x^{2} - 2 x + 1) - lo g_{2 x - 5} (4 x^{2} - 20 x + 25) ⩽ 0.

ОДЗ: $x > \frac{5}{2},$ $x \neq = 3 .$ При $x$ принадлежащем ОДЗ справедливо $x - 1 > 1$ и, стало быть, при $x$ из ОДЗ имеем

lo g_{x - 1} (2 x - 5) + lo g_{4 x^{2} - 20 x + 25} (x^{2} - 2 x + 1) - lo g_{2 x - 5} (4 x^{2} - 20 x + 25) ⩽ 0 ⟺

⟺ lo g_{x - 1} (2 x - 5) + lo g_{2 x - 5} (x - 1) - 2 ⩽ 0 ⟺ \frac{( lo g _{x - 1} ( 2 x - 5 ) - 1 ) ^{2}}{lo g _{x - 1} ( 2 x - 5 )} ⩽ 0 ⟺

⟺ [lo g_{x - 1} (2 x - 5) = 1 lo g_{x - 1} (2 x - 5) < 0 ⟺ [2 x - 5 = x - 1 2 x - 5 < 1 ⟺ [x = 4 x < 3

Учитывая ОДЗ, получаем $x \in (\frac{5}{2}, 3) \cup {4} .$