Задача №17698

Найдите количество всех упорядоченных четвёрок чисел $a,b,c,d\text{,}$ таких что числа $a^2-ab+b^2\text{,}$ $b^2-bc+c^2\text{,}$ $c^2-cd+d^2$ равны друг другу, если известно, что каждое из чисел $a,b,c,d$ равно либо 1, либо 2, либо 3, а число $a$ является среди них наибольшим.

Первое равенство равносильно равенству $(a-c)(a+c-b)=0\text{.}$ Поскольку $a⩾b$ и $c⩾1\text{,}$ получаем $a=c\text{.}$ Второе равенство равносильно равенству $(b-d)(b+d-c)=0\text{.}$ Получаем либо $b=d\text{,}$ либо $b+d=c(=a)\text{.}$ Если $a=c=1\text{,}$ то в силу максимальности $a$ имеем $a=b=c=d=1\text{.}$ Это один вариант. Если $a=c=2\text{,}$ то либо $b=d=1\text{,}$ либо $b=d=2\text{.}$ Это ещё два варианта. Наконец, если $a=c=3\text{,}$ то либо $b=d=1\text{,}$ либо $b=d=2\text{,}$ либо $b=d=3\text{,}$ либо $b=1,d=2\text{,}$ либо $b=2,d=1\text{.}$ Это ещё пять вариантов. Всего получаем 8 вариантов.

Примечание. В официальной публикации (и в сборнике условий, и в файле решений) третье выражение напечатано как $c^2-cd-d^2\text{,}$ однако официальное решение и ответ (8) соответствуют выражению $c^2-cd+d^2\text{;}$ при выражении из публикации задача не имеет решений (проверено перебором всех четвёрок). Условие приведено в исправленном виде.