Задача №17695

Числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ положительны и удовлетворяют соотношению $a+b+c+d=1\text{.}$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{c^2}{1-c}+\frac{d^2}{1-d}.$$

Заметим, что $\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{c^2}{1-c}+\frac{d^2}{1-d}=-(a+1)-(b+1)-(c+1)-(d+1)+\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}=-5+\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}\text{.}$

Далее, заметим, что для любых положительных $A\text{,}$ $B$ справедливо $\frac{1}{A}+\frac{1}{B}⩾\frac{4}{A+B}\text{,}$ ибо это неравенство равносильно неравенству $(A-B{)}^2⩾0\text{.}$ Отсюда получаем, что для любых положительных $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ справедливо $\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}+\frac{1}{D}⩾\frac{4}{A+B}+\frac{4}{C+D}⩾\frac{16}{A+B+C+D}\text{.}$

Стало быть, исследуемое выражение оценивается снизу как $-5+\frac{16}{(1-a)+(1-b)+(1-c)+(1-d)}=-5+\frac{16}{3}=\frac{1}{3}\text{.}$ Причём равенство достигается при $a=b=c=d=1/4\text{.}$