Числа a, b, c, d положительны и удовлетворяют соотношению a+b+c+d=1. Найдите наименьшее возможное значение выражения (a^2)/(1-a)+(b^2)/(1-b)+(c^2)/(1-c)+(d^2)/(1-d).

Заметим, что (a^2)/(1-a)+(b^2)/(1-b)+(c^2)/(1-c)+(d^2)/(1-d)=-(a+1)-(b+1)-(c+1)-(d+1)+(1)/(1-a)+(1)/(1-b)+(1)/(1-c)+(1)/(1-d)=-5+(1)/(1-a)+(1)/(1-b)+(1)/(1-c)+(1)/(1-d). Далее, заметим, что для любых положительных A, B справедливо (1)/(A)+(1)/(B)(4)/(A+B), ибо это неравенство равносильно неравенству (A-B)^2 0. Отсюда получаем, что для любых положительных A, B, C, D справедливо (1)/(A)+(1)/(B)+(1)/(C)+(1)/(D)(4)/(A+B)+(4)/(C+D)(16)/(A+B+C+D). Стало быть, исследуемое выражение оценивается снизу как -5+(16)/((1-a)+(1-b)+(1-c)+(1-d))=-5+(16)/(3)=(1)/(3). Причём равенство достигается при a=b=c=d=1/4.

1/3