Задача №17691

Числа $a_1,a_2,\dots ,a_{20}$ образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность, если известно, что $a_1^2+a_3^2+\dots +a_{19}^2=1330\text{,}$ $a_2^2+a_4^2+\dots +a_{20}^2=1540$ и $a_{10}+a_{11}=21\text{.}$

Обозначим через $d$ искомую разность. Для разности квадратов двух соседних членов прогрессии справедливо $a_{2k}^2-a_{2k-1}^2=(a_{2k}+a_{2k-1})d=(2a_1+((2k-1)+(2k-2))d)d\text{.}$ Стало быть, $210=1540-1330=(a_2^2-a_1^2)+(a_4^2-a_3^2)+\dots +(a_{20}^2-a_{19}^2)=(20a_1+(1+2+3+\dots +19)d)d=10d(2a_1+19d)=10d(a_{10}+a_{11})=210d\text{.}$ Следовательно, $d=1\text{.}$