Дан куб со стороной 1, основаниями ABCD, A'B'C'D' и боковыми рёбрами AA', BB', CC' и DD'. На рёбрах A'B', B'B, BC, CD, DD', D'A' отмечены точки K, L, M, N, O, P соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость KMO делит объём куба, если известно, что A'AK= LAK, BAM= NAM, DAO= PAO и что A'K+LB=BM+ND=DO+PA'=5/4.

Рассмотрим плоскость грани AA'B'B. Проведём в этой плоскости прямую через A, перпендикулярную AL. Обозначим через L' точку пересечения этой прямой с прямой A'B'. Тогда прямоугольные треугольники ABL и AA'L' равны, откуда следует, что BL=A'L', то есть KL'=KA'+A'L'=KA'+BL=5/4. Кроме того, L'AK= L'AA'+ A'AK= BAL+ LAK= BAK= L'KA, то есть треугольник AL'K равнобедренный и AL'=KL'=5/4. Но AL'=AL из того же равенства треугольников ABL и AA'L', то есть AL=5/4. Но тогда BL=sqrt((5/4)^2-1)=3/4 и, стало быть, A'K=5/4-BL=1/2. Аналогично, рассматривая грани ABCD и ADD'A', получаем, что BM=1/2 и DO=1/2. Таким образом, точки K, M, O суть середины рёбер A'B', BC, DD'. Существует ровно одна плоскость, проходящая через эти точки — это плоскость, перпендикулярная диагонали AC' куба и делящая эту диагональ пополам. Поскольку середина диагонали AC' является центром симметрии куба, плоскость делит куб на две равные части.

1 : 1