Задача №17689

Дан куб со стороной 1, основаниями $ABCD\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ и $D{D}^{\prime }\text{.}$ На рёбрах $A^{\prime }{B}^{\prime }\text{,}$ $B^{\prime }B\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{,}$ $D^{\prime }{A}^{\prime }$ отмечены точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N\text{,}$ $O\text{,}$ $P$ соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость $KMO$ делит объём куба, если известно, что $\angle A^{\prime }AK=\angle LAK\text{,}$ $\angle BAM=\angle NAM\text{,}$ $\angle DAO=\angle PAO$ и что $A^{\prime }K+LB=BM+ND=DO+P{A}^{\prime }=5/4\text{.}$

Рассмотрим плоскость грани $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\text{.}$ Проведём в этой плоскости прямую через $A\text{,}$ перпендикулярную $AL\text{.}$ Обозначим через $L^{\prime }$ точку пересечения этой прямой с прямой $A^{\prime }{B}^{\prime }\text{.}$ Тогда прямоугольные треугольники $ABL$ и $A{A}^{\prime }{L}^{\prime }$ равны, откуда следует, что $BL=A^{\prime }{L}^{\prime }\text{,}$ то есть

Кроме того,

то есть треугольник $A{L}^{\prime }K$ равнобедренный и $A{L}^{\prime }=K{L}^{\prime }=5/4\text{.}$ Но $A{L}^{\prime }=AL$ из того же равенства треугольников $ABL$ и $A{A}^{\prime }{L}^{\prime }\text{,}$ то есть

Но тогда $BL=\sqrt{(5/4{)}^2-1}=3/4$ и, стало быть, $A^{\prime }K=5/4-BL=1/2\text{.}$

Аналогично, рассматривая грани $ABCD$ и $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }\text{,}$ получаем, что $BM=1/2$ и $DO=1/2\text{.}$

Таким образом, точки $K\text{,}$ $M\text{,}$ $O$ суть середины рёбер $A^{\prime }{B}^{\prime }\text{,}$ $BC\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ Существует ровно одна плоскость, проходящая через эти точки — это плоскость, перпендикулярная диагонали $A{C}^{\prime }$ куба и делящая эту диагональ пополам. Поскольку середина диагонали $A{C}^{\prime }$ является центром симметрии куба, плоскость делит куб на две равные части.