Многочлен f(x) второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа a, b, c удовлетворяют условиям f(a)=bc, f(b)=ca, f(c)=ab. Найдите все возможные значения выражения (f(a)+f(b)+f(c))/(f(a+b+c)), при условии, что f(a+b+c)!= 0.

Пусть f(x)=Ax^2+Bx+C. Тогда casesAa^2+Ba+C=bc Ab^2+Bb+C=ca Ac^2+Bc+C=abcases Складывая эти равенства, получаем A(a+b+c)^2-2A(ab+bc+ca)+B(a+b+c)+3C=ab+bc+ca. Отсюда следует, что f(a+b+c)=(2A+1)(ab+bc+ca)-2C. Выразим A и C через a,b,c. Из системы следует, что A(a^2b-ab^2)+C(b-a)=b^2c-ca^2 и A(a^2c-ac^2)+C(c-a)=bc^2-a^2b. Сокращая на (ненулевые) a-b и a-c, получаем соответственно Aab-C=-bc-ca и Aac-C=-bc-ab. Вычитая из одного другое, получаем A(ab-ac)=ab-ac. Поскольку же a!= c, приходим к соотношениям A=1, C=ab+bc+ca. Итак, f(a+b+c)=(2A+1)(ab+bc+ca)-2C=ab+bc+ca=f(a)+f(b)+f(c). Стало быть, искомое соотношение равно 1.

1