Задача №17688

Многочлен $f(x)$ второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют условиям $f(a)=bc\text{,}$ $f(b)=ca\text{,}$ $f(c)=ab\text{.}$ Найдите все возможные значения выражения

$$\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{f(a+b+c)},$$

при условии, что $f(a+b+c)\ne 0\text{.}$

Пусть $f(x)=A{x}^2+Bx+C\text{.}$ Тогда

$$\{\begin{array}{l}A{a}^2+Ba+C=bc\\ A{b}^2+Bb+C=ca\\ A{c}^2+Bc+C=ab\end{array}$$

Складывая эти равенства, получаем $A(a+b+c{)}^2-2A(ab+bc+ca)+B(a+b+c)+3C=ab+bc+ca\text{.}$ Отсюда следует, что

$$f(a+b+c)=(2A+1)(ab+bc+ca)-2C.$$

Выразим $A$ и $C$ через $a,b,c\text{.}$ Из системы следует, что

$$A(a^{2}b-a{b}^2)+C(b-a)=b^{2}c-c{a}^2\text{и}A(a^{2}c-a{c}^2)+C(c-a)=b{c}^2-a^{2}b.$$

Сокращая на (ненулевые) $a-b$ и $a-c\text{,}$ получаем соответственно

$$Aab-C=-bc-ca\text{и}Aac-C=-bc-ab.$$

Вычитая из одного другое, получаем $A(ab-ac)=ab-ac\text{.}$ Поскольку же $a\ne c\text{,}$ приходим к соотношениям

$$A=1,C=ab+bc+ca.$$

Итак, $f(a+b+c)=(2A+1)(ab+bc+ca)-2C=ab+bc+ca=f(a)+f(b)+f(c)\text{.}$ Стало быть, искомое соотношение равно 1.