В окружность вписан четырёхугольник ABCD. На стороне BC отмечена точка E таким образом, что CD=CE=1 и AED=30^. Найдите радиус окружности , если известно, что ACD=25^ и ACB=75^.

Из равнобедренности треугольника ECD следует, что DEC=(1)/(2)(180^-25^-75^)=40^. Следовательно, AEC=30^+40^=70^. Отметим на AE точку F таким образом, чтобы CF=CE. Тогда FCE=180^-2* 70^=40^ и, стало быть, FCD=100^-40^=60^. Отсюда следует, что треугольник DFC является правильным, то есть DF=FC=1. Покажем, что AF=FC. Из треугольника AEC имеем CAE=180^-70^-75^=35^. С другой стороны, ACF= ACE- FCE=75^-40^=35^. Таким образом, CAF= ACF=35^, откуда следует, что, действительно, AF=FC. Итак, точка F равноудалена от точек A, D, C, то есть является центром описанной около треугольника ADC окружности. Но эта окружность совпадает с окружностью . Стало быть, искомый радиус равен 1.

1