Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD. На стороне BC отмечена точка E таким образом, что CD=CE=1 и ∠AED=30∘. Найдите радиус окружности Ω, если известно, что ∠ACD=25∘ и ∠ACB=75∘.
Из равнобедренности треугольника ECD следует, что ∠DEC=21(180∘−25∘−75∘)=40∘. Следовательно, ∠AEC=30∘+40∘=70∘.
Отметим на AE точку F таким образом, чтобы CF=CE. Тогда ∠FCE=180∘−2⋅70∘=40∘ и, стало быть, ∠FCD=100∘−40∘=60∘. Отсюда следует, что треугольник DFC является правильным, то есть DF=FC=1.
Покажем, что AF=FC. Из треугольника AEC имеем ∠CAE=180∘−70∘−75∘=35∘. С другой стороны, ∠ACF=∠ACE−∠FCE=75∘−40∘=35∘. Таким образом, ∠CAF=∠ACF=35∘, откуда следует, что, действительно, AF=FC.
Итак, точка F равноудалена от точек A, D, C, то есть является центром описанной около треугольника ADC окружности. Но эта окружность совпадает с окружностью Ω. Стало быть, искомый радиус равен 1.