Задача №17680

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D\text{,}$ отличная от $B$ и $C\text{.}$ Пусть $E$ — точка пересечения отрезка $AC$ с окружностью, описанной около треугольника $ABD\text{,}$ отличная от $A\text{.}$ Пусть $F$ — точка пересечения отрезка $AB$ с окружностью, описанной около треугольника $ACD\text{,}$ отличная от $A\text{.}$ Пусть $D^{\prime }\text{,}$ $E^{\prime }\text{,}$ $F^{\prime }$ — точки пересечения окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ с прямыми $AD\text{,}$ $BE\text{,}$ $CF$ соответственно, отличные от точек $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{.}$ Найдите угол $\angle E^{\prime }{D}^{\prime }{F}^{\prime }\text{,}$ если известно, что $\angle EDF=30^{\circ }\text{.}$

Покажем, что $ED\parallel E^{\prime }{D}^{\prime }\text{.}$ Поскольку точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $BE\text{,}$ точки $D$ и $D^{\prime }$ лежат по одну сторону от прямой $BE\text{.}$ Учитывая равенство углов, опирающихся на равные дуги, получаем, что

Стало быть, действительно, $ED\parallel E^{\prime }{D}^{\prime }\text{.}$ Аналогично, $FD\parallel F^{\prime }{D}^{\prime }\text{.}$ Отсюда следует, что $\angle E^{\prime }{D}^{\prime }{F}^{\prime }=\angle EDF=30^{\circ }\text{.}$