Задача №17675

В основании пирамиды лежит трапеция $ABCD\text{,}$ $AD\parallel BC\text{,}$ $AD=2BC\text{.}$ Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей её боковых граней $ADS$ и $BCS\text{.}$ Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость $ADT\text{,}$ где $T$ — точка касания сферы с плоскостью $BCS\text{,}$ если грань $ADS$ перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.

Проведём через точку $T$ плоскость, перпендикулярную $AD$ и спроецируем ортогонально на неё вершины пирамиды. Тогда точки $A\text{,}$ $D$ спроецируются в точку $A^{\prime }\text{,}$ точки $B\text{,}$ $C$ — в точку $B^{\prime }\text{,}$ а точка $S$ — в точку $S^{\prime }\text{.}$ При этом треугольник $A^{\prime }{B}^{\prime }{S}^{\prime }$ будет прямоугольным с прямым углом $A^{\prime }\text{,}$ а сфера при такой проекции перейдёт в окружность, вписанную в этот треугольник, причём $T$ будет точкой касания гипотенузы. Поскольку радиус сферы равен 1, по теореме о касательной имеем $A^{\prime }{B}^{\prime }=1+B^{\prime }T\text{,}$ $A^{\prime }{S}^{\prime }=1+S^{\prime }T\text{.}$ Применяя теорему Пифагора и сокращая квадраты, получаем

Но $A^{\prime }{S}^{\prime }$ равно высоте пирамиды, то есть $S^{\prime }T=A^{\prime }{S}^{\prime }-1=3\text{.}$ Тогда $B^{\prime }T=2$ и, стало быть, плоскость $ADT$ делит оба ребра $SB$ и $SC$ в отношении $S^{\prime }T:T{B}^{\prime }=3:2\text{,}$ считая от $S\text{.}$ Обозначим середину $AD$ через $E$ и разобьём пирамиду на тетраэдры $SABE\text{,}$ $SBCE$ и $SCDE\text{.}$ Объёмы этих тетраэдров равны, так как площади их оснований равны и они имеют общую с исходной пирамидой высоту. Стало быть, если объём исходной пирамиды равен $V\text{,}$ то часть пирамиды, отсекаемая плоскостью $ADT$ и содержащая вершину $S\text{,}$ имеет объём

Значит, плоскость $ADT$ делит объём пирамиды в отношении $39:36\text{.}$