В основании пирамиды лежит трапеция ABCD, AD BC, AD=2BC. Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей её боковых граней ADS и BCS. Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость ADT, где T — точка касания сферы с плоскостью BCS, если грань ADS перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.

Проведём через точку T плоскость, перпендикулярную AD и спроецируем ортогонально на неё вершины пирамиды. Тогда точки A, D спроецируются в точку A', точки B, C — в точку B', а точка S — в точку S'. При этом треугольник A'B'S' будет прямоугольным с прямым углом A', а сфера при такой проекции перейдёт в окружность, вписанную в этот треугольник, причём T будет точкой касания гипотенузы. Поскольку радиус сферы равен 1, по теореме о касательной имеем A'B'=1+B'T, A'S'=1+S'T. Применяя теорему Пифагора и сокращая квадраты, получаем 1+B'T+S'T=B'T* S'T. Но A'S' равно высоте пирамиды, то есть S'T=A'S'-1=3. Тогда B'T=2 и, стало быть, плоскость ADT делит оба ребра SB и SC в отношении S'T:TB'=3:2, считая от S. Обозначим середину AD через E и разобьём пирамиду на тетраэдры SABE, SBCE и SCDE. Объёмы этих тетраэдров равны, так как площади их оснований равны и они имеют общую с исходной пирамидой высоту. Стало быть, если объём исходной пирамиды равен V, то часть пирамиды, отсекаемая плоскостью ADT и содержащая вершину S, имеет объём (V)/(3)*(2*(3)/(5)+((3)/(5))^2)=(39V)/(75). Значит, плоскость ADT делит объём пирамиды в отношении 39:36.

39 : 36