Число x_0 является общим корнем многочленов x^3+ax^2+bx+c, x^3+bx^2+cx+a, x^3+cx^2+ax+b. Найдите все возможные значения x_0, если известно, что a>b>c.

Если число является общим корнем двух многочленов, то оно является корнем и их разности. Стало быть, x_0 является корнем многочленов (a-b)x^2+(b-c)x+(c-a) и (b-c)x^2+(c-a)x+(a-b). Поделим эти два многочлена на старшие коэффициенты (из условия следует, что они не равны нулю). Тогда x_0 является корнем разности полученных двух многочленов. Она имеет вид ((b-c)/(a-b)-(c-a)/(b-c))x+((c-a)/(a-b)-(a-b)/(b-c)). Отсюда, учитывая, что первая скобка — число положительное, получаем x_0=(a-bb-c-c-aa-b)/(b-ca-b-c-ab-c)=((a-b)^2+(a-c)(b-c))/((b-c)^2+(a-b)(a-c))=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)/(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1.

1