Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. На дуге CA (не содержащей точку B) этой окружности отмечена некоторая точка P. Прямая, проходящая через точки B и H, где H — точка пересечения высот треугольника ABC, пересекает отрезок AP в точке Q. Найдите отношение AC к BC, если известно, что точки C, P, Q, H лежат на одной окружности.

Проведём касательную к окружности в точке C. Отметим на ней точку D, чтобы угол ACD был острым. Тогда, поскольку дуга CA меньше 180^, справедливо равенство HCD= HCP+ PCD. Обозначим через E точку пересечения прямых BQ и AC. Эта точка — основание высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B. Рассмотрим прямоугольный треугольник AQE. Поскольку точки C, P, Q, H лежат на одной окружности, AQE=180^- HQP= HCP. Далее, поскольку касается окружности в точке C, а угол CAP опирается на дугу CP, имеем PCD= CAP= EAQ. Учитывая, что AQE+ EAQ=90^, получаем HCD= HCP+ PCD= AQE+ EAQ=90^. Таким образом, прямая перпендикулярна CH и, стало быть, параллельна AB. Но тогда AC=BC, то есть искомое отношение равно 1.

1