Задача №17673

Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность. На дуге $CA$ (не содержащей точку $B$) этой окружности отмечена некоторая точка $P\text{.}$ Прямая, проходящая через точки $B$ и $H\text{,}$ где $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{,}$ пересекает отрезок $AP$ в точке $Q\text{.}$ Найдите отношение $AC$ к $BC\text{,}$ если известно, что точки $C\text{,}$ $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $H$ лежат на одной окружности.

Проведём касательную $\ell$ к окружности в точке $C\text{.}$ Отметим на ней точку $D\text{,}$ чтобы угол $\angle ACD$ был острым. Тогда, поскольку дуга $CA$ меньше $180^{\circ }\text{,}$ справедливо равенство

Обозначим через $E$ точку пересечения прямых $BQ$ и $AC\text{.}$ Эта точка — основание высоты треугольника $ABC\text{,}$ опущенной из вершины $B\text{.}$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $AQE\text{.}$ Поскольку точки $C\text{,}$ $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $H$ лежат на одной окружности, $\angle AQE=180^{\circ }-\angle HQP=\angle HCP\text{.}$ Далее, поскольку $\ell$ касается окружности в точке $C\text{,}$ а угол $\angle CAP$ опирается на дугу $CP\text{,}$ имеем $\angle PCD=\angle CAP=\angle EAQ\text{.}$ Учитывая, что $\angle AQE+\angle EAQ=90^{\circ }\text{,}$ получаем

Таким образом, прямая $\ell$ перпендикулярна $CH$ и, стало быть, параллельна $AB\text{.}$ Но тогда $AC=BC\text{,}$ то есть искомое отношение равно 1.