Задача №17671

Решите неравенство $8^{{\log }_{x^2-1}(x-1)}+8^{{\log }_{x^2-1}(x+1)}⩽6\text{.}$

Положим $t={\log }_{x^2-1}(x+1)\text{.}$ Тогда при $x>1\text{,}$ $x\ne \sqrt{2}$ справедливо ${\log }_{x^2-1}(x-1)=1-t\text{.}$ Получаем $8^t+8\cdot 8^{-t}⩽6\text{,}$ откуда $(8^t-2)(8^t-4)⩽0\text{,}$ т.е. $1⩽3t⩽2\text{.}$ Стало быть, при $x>1\text{,}$ $x\ne \sqrt{2}$