Задача №17670

Найдите сумму всех натуральных чисел $n\text{,}$ для которых число $n^2+7n+1$ является квадратом некоторого натурального числа.

Заметим, что при любом натуральном $n$ справедливо $n^2+7n+1<n^2+8n+16=(n+4{)}^2\text{.}$ Стало быть, достаточно исследовать равенство $n^2+7n+1$ числам $(n+1{)}^2\text{,}$ $(n+2{)}^2$ и $(n+3{)}^2\text{.}$ Первое равенство равносильно $5n=0\text{,}$ второе равносильно $3n=3\text{,}$ третье равносильно $n=8\text{.}$ Получаем, что $n=1$ и $n=8$ — единственные два числа, удовлетворяющие условию. Их сумма же равна 9.