Найдите сумму всех натуральных чисел n, для которых число n^2+7n+1 является квадратом некоторого натурального числа.

Заметим, что при любом натуральном n справедливо n^2+7n+1<n^2+8n+16=(n+4)^2. Стало быть, достаточно исследовать равенство n^2+7n+1 числам (n+1)^2, (n+2)^2 и (n+3)^2. Первое равенство равносильно 5n=0, второе равносильно 3n=3, третье равносильно n=8. Получаем, что n=1 и n=8 — единственные два числа, удовлетворяющие условию. Их сумма же равна 9.

9