Решите уравнение (tg3x+tgx)/(1+tg3xtgx)=tg4xtg2x.

(tg3x+tgx)/(1+tg3xtgx)=tg4xtg2x (tg3x+tgx)/(1+tg3xtgx)=(tg3x+tgx)/(1-tg3xtgx)*(tg3x-tgx)/(1+tg3xtgx) (tg3x+tgx)/(1+tg3xtgx)((tg3x-tgx)/(1-tg3xtgx)-1)=0 ((tg3x+tgx)(tg3x-1)(tgx+1))/((1+tg3xtgx)(1-tg3xtgx))=0 cases[arrayltg3x=tg(-x) tg3x=1 tgx=-1array. tg3xtgx!=+- 1cases cases[arraylx=(kpi)/(4), kinZ x=(pi)/(12)+(kpi)/(3), kinZ x=-(pi)/(4)+kpi, kinZarray. cos 4xcos 2x!= 0cases cases[arraylx=(kpi)/(4), kinZ x=(pi)/(12)+(kpi)/(3), kinZarray. x!=(pi)/(8)+(npi)/(4), ninZ x!=(pi)/(4)+(npi)/(2), ninZcases cases[arraylx=(kpi)/(4), kinZ x=(pi)/(12)+(kpi)/(3), kinZarray. x!=(pi)/(4)+(npi)/(2), ninZcases [arraylx=(kpi)/(2), kinZ x=(pi)/(12)+kpi, kinZ x=(5pi)/(12)+kpi, kinZarray. **Примечание.** Официальный ответ содержит серию x=(k_1pi)/(2), однако при нечётных k_1 имеем cos x=0, и tgx, tg3x из условия не определены. С учётом ОДЗ (cos x!= 0, cos 2x!= 0, cos 3x!= 0, cos 4x!= 0) эта серия сужается до x=k_1pi.

x = k_1\pi,\ \frac{\pi}{12}+k_2\pi,\ \frac{5\pi}{12}+k_3\pi,\quad k_1,k_2,k_3\in\mathbb{Z}