Решите уравнение (tg3x+tgx)/(1+tg3xtgx)=tg4xtg2x.

Задача №17665: Уравнение

\frac{tg 3 x + tg x}{1 + tg 3 x tg x} = tg 4 x tg 2 x ⟺ \frac{tg 3 x + tg x}{1 + tg 3 x tg x} = \frac{tg 3 x + tg x}{1 - tg 3 x tg x} \cdot \frac{tg 3 x - tg x}{1 + tg 3 x tg x} ⟺

⟺ \frac{tg 3 x + tg x}{1 + tg 3 x tg x} (\frac{tg 3 x - tg x}{1 - tg 3 x tg x} - 1) = 0 ⟺ \frac{( tg 3 x + tg x ) ( tg 3 x - 1 ) ( tg x + 1 )}{( 1 + tg 3 x tg x ) ( 1 - tg 3 x tg x )} = 0 ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ tg 3 x = tg (- x) tg 3 x = 1 tg x = - 1 tg 3 x tg x \neq = \pm 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{k π}{4}, k \in Z x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in Z x = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z cos 4 x cos 2 x \neq = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ [x = \frac{k π}{4}, k \in Z x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in Z x \neq = \frac{π}{8} + \frac{nπ}{4}, n \in Z x \neq = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2}, n \in Z ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ [x = \frac{k π}{4}, k \in Z x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in Z x \neq = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2}, n \in Z ⟺ x = \frac{k π}{2}, k \in Z x = \frac{π}{12} + k π, k \in Z x = \frac{5 π}{12} + k π, k \in Z

Примечание. Официальный ответ содержит серию $x = \frac{k _{1} π}{2},$ однако при нечётных $k_{1}$ имеем $cos x = 0,$ и $tg x,$ $tg 3 x$ из условия не определены. С учётом ОДЗ ( $cos x \neq = 0,$ $cos 2 x \neq = 0,$ $cos 3 x \neq = 0,$ $cos 4 x \neq = 0$ ) эта серия сужается до $x = k_{1} π .$

\frac{tg 3 x + tg x}{1 + tg 3 x tg x} = tg 4 x tg 2 x ⟺ \frac{tg 3 x + tg x}{1 + tg 3 x tg x} = \frac{tg 3 x + tg x}{1 - tg 3 x tg x} \cdot \frac{tg 3 x - tg x}{1 + tg 3 x tg x} ⟺

⟺ \frac{tg 3 x + tg x}{1 + tg 3 x tg x} (\frac{tg 3 x - tg x}{1 - tg 3 x tg x} - 1) = 0 ⟺ \frac{( tg 3 x + tg x ) ( tg 3 x - 1 ) ( tg x + 1 )}{( 1 + tg 3 x tg x ) ( 1 - tg 3 x tg x )} = 0 ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ tg 3 x = tg (- x) tg 3 x = 1 tg x = - 1 tg 3 x tg x \neq = \pm 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{k π}{4}, k \in Z x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in Z x = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z cos 4 x cos 2 x \neq = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ [x = \frac{k π}{4}, k \in Z x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in Z x \neq = \frac{π}{8} + \frac{nπ}{4}, n \in Z x \neq = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2}, n \in Z ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ [x = \frac{k π}{4}, k \in Z x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in Z x \neq = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2}, n \in Z ⟺ x = \frac{k π}{2}, k \in Z x = \frac{π}{12} + k π, k \in Z x = \frac{5 π}{12} + k π, k \in Z

Задача №17665

Задача #17665

Решай похожие задачи

Информация

Задача №17665

Задача #17665

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17665

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17665

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация