Задача №17663

Натуральные числа $a_1,\dots ,a_n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n\text{,}$ если известно, что $n$ нечётно, $n>1$ и сумма $a_1+\dots +a_n$ равна 2024.

Поскольку $n$ нечётно, указанная сумма равна $n\cdot a_{\frac{n+1}{2}}\text{.}$ Далее, $2024=8\cdot 11\cdot 23\text{.}$ Стало быть, $n\in \{11,23,253\}\text{.}$ Если $n=253\text{,}$ то $a_{\frac{n+1}{2}}=8$ и получаем противоречие с возрастанием и натуральностью элементов прогрессии. Если же $n=11$ или $n=23\text{,}$ то $a_{\frac{n+1}{2}}=184$ и $a_{\frac{n+1}{2}}=88$ соответственно, что позволяет построить примеры последовательностей $179,180,\dots ,184,\dots ,188,189$ и $77,78,\dots ,88,\dots ,98,99\text{.}$