Действительные числа a, b, c удовлетворяют неравенствам 0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1. Найдите наибольшее возможное значение выражения [4]a(1-b)+[4]b(1-c)+[4]c(1-a).

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных x_1, x_2, x_3, x_4 справедливо (x_1+x_2+x_3+x_4)/(4)=((x_1+x_2)/(2)+(x_3+x_4)/(2))/(2)(sqrt(x_1x_2)+sqrt(x_3x_4))/(2)[4]x_1x_2x_3x_4. Стало быть, [4]a(1-b)+[4]b(1-c)+[4]c(1-a)= =sqrt(2)([4]a(1-b)*(1)/(2)*(1)/(2)+[4]b(1-c)*(1)/(2)*(1)/(2)+[4]c(1-a)*(1)/(2)*(1)/(2)) (2)((a+(1-b)+(1)/(2)+(1)/(2))/(4)+(b+(1-c)+(1)/(2)+(1)/(2))/(4)+(c+(1-a)+(1)/(2)+(1)/(2))/(4))=(3sqrt(2))/(2). Равенство же достигается при a=b=c=1/2.

\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)