Задача №17660

Действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют неравенствам $0<a<1\text{,}$ $0<b<1\text{,}$ $0<c<1\text{.}$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

$$\sqrt[4]{a(1-b)}+\sqrt[4]{b(1-c)}+\sqrt[4]{c(1-a)}.$$

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных $x_1,x_2,x_3,x_4$ справедливо

$$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\frac{\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}}{2}⩾\frac{\sqrt{x_1{x}_2}+\sqrt{x_3{x}_4}}{2}⩾\sqrt[4]{x_1{x}_2{x}_3{x}_4}.$$

Стало быть,

$$\sqrt[4]{a(1-b)}+\sqrt[4]{b(1-c)}+\sqrt[4]{c(1-a)}=$$ $$=\sqrt{2}\left(\sqrt[4]{a(1-b)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}+\sqrt[4]{b(1-c)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}+\sqrt[4]{c(1-a)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\right)⩽$$ $$⩽\sqrt{2}\left(\frac{a+(1-b)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{4}+\frac{b+(1-c)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{4}+\frac{c+(1-a)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{4}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Равенство же достигается при $a=b=c=1/2\text{.}$