Из точки E пересечения диагоналей AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры EK, EL, EM, EN на его стороны AB, BC, CD, AD соответственно, причём основания перпендикуляров принадлежат соответствующим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника KLMN, если известно, что KL = 5, MN = 3, а расстояние от точки E до прямой LM равно sqrt(3).

Поскольку AKE= ANE=pi/2, четырёхугольник AKEN вписанный и ENK= EAK как опирающиеся на одну дугу. Аналогично, MNE= MDE. Но EAK= CAB= CDB= MDE, следовательно, NE — биссектриса угла MNK, то есть точка E равноудалена от NK и MN. Аналогично, точка E равноудалена от всех сторон четырёхугольника KLMN, то есть является центром вписанной в него окружности. Но раз KLMN описанный, его периметр равен 2(KL+MN)=16. Радиус же вписанной окружности равен расстоянию от точки E до прямой LM, которое по условию равно sqrt(3), то есть площадь KLMN равна (1)/(2)* 16*sqrt(3)=8sqrt(3).

\(8\sqrt{3}\)