Задача №17659

Из точки $E$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ опущены перпендикуляры $EK\text{,}$ $EL\text{,}$ $EM\text{,}$ $EN$ на его стороны $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $AD$ соответственно, причём основания перпендикуляров принадлежат соответствующим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника $KLMN\text{,}$ если известно, что $KL=5\text{,}$ $MN=3\text{,}$ а расстояние от точки $E$ до прямой $LM$ равно $\sqrt{3}\text{.}$

Поскольку $\angle AKE=\angle ANE=\pi /2\text{,}$ четырёхугольник $AKEN$ вписанный и $\angle ENK=\angle EAK$ как опирающиеся на одну дугу. Аналогично, $\angle MNE=\angle MDE\text{.}$ Но $\angle EAK=\angle CAB=\angle CDB=\angle MDE\text{,}$ следовательно, $NE$ — биссектриса угла $MNK\text{,}$ то есть точка $E$ равноудалена от $NK$ и $MN\text{.}$ Аналогично, точка $E$ равноудалена от всех сторон четырёхугольника $KLMN\text{,}$ то есть является центром вписанной в него окружности. Но раз $KLMN$ описанный, его периметр равен $2(KL+MN)=16\text{.}$ Радиус же вписанной окружности равен расстоянию от точки $E$ до прямой $LM\text{,}$ которое по условию равно $\sqrt{3}\text{,}$ то есть площадь $KLMN$ равна $\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{.}$