Задача №17654

Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно $\sqrt{6}\text{,}$ высота пирамиды равна $\sqrt{7}\text{.}$ Плоскость $\pi$ перпендикулярна одному из рёбер пирамиды и делит его в отношении $1:2\text{,}$ считая от вершины. Найдите отношение, в котором плоскость $\pi$ делит объём пирамиды.

Обозначим через $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $S$ вершины пирамиды, так что $ABC$ — её основание, а плоскость $\pi$ перпендикулярна ребру $SA\text{.}$ Поскольку $\pi \perp SA$ и $BC\perp SA\text{,}$ имеем $\pi \parallel BC\text{.}$ Стало быть, $\pi$ пересекает плоскость $BCS$ по прямой, параллельной $BC\text{,}$ и делит рёбра $SB$ и $SC$ (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдём это отношение.
Обозначим через $H$ основание высоты пирамиды и через $M$ — середину ребра $BC\text{.}$ Тогда

Пусть $K$ — точка пересечения $\pi$ и $SA\text{,}$ $L$ — точка пересечения $\pi$ с прямой $AM\text{,}$ $N$ — точка пересечения прямых $LK$ и $SM\text{.}$ Тогда $AK=2KS\text{,}$ причём $\angle AKL=90^{\circ }\text{.}$ Из подобия треугольников $ALK$ и $ASH$ получаем:

откуда

Итак, $M$ — середина $AL\text{.}$ Обозначим через $P$ середину $AK\text{.}$ Тогда $LK\parallel MP\text{,}$ откуда $SN=NM\text{,}$ ибо $SK=KP\text{.}$ Таким образом, плоскость $\pi$ проходит через середины рёбер $SB$ и $SC\text{.}$ Следовательно, $\pi$ отсекает от пирамиды $ABCS$ пирамиду, объём которой равен $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ объёма пирамиды $ABCS\text{.}$ То есть $\pi$ делит объём исходной пирамиды в отношении $1:11\text{.}$