Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно sqrt(6), высота пирамиды равна sqrt(7). Плоскость pi перпендикулярна одному из рёбер пирамиды и делит его в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите отношение, в котором плоскость pi делит объём пирамиды.

Обозначим через A, B, C, S вершины пирамиды, так что ABC — её основание, а плоскость pi перпендикулярна ребру SA. Поскольку pi SA и BC SA, имеем pi BC. Стало быть, pi пересекает плоскость BCS по прямой, параллельной BC, и делит рёбра SB и SC (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдём это отношение. Обозначим через H основание высоты пирамиды и через M — середину ребра BC. Тогда AM=(ABsqrt(3))/(2)=(3)/(2)sqrt(2), AH=(2)/(3)AM=sqrt(2). Пусть K — точка пересечения pi и SA, L — точка пересечения pi с прямой AM, N — точка пересечения прямых LK и SM. Тогда AK=2KS, причём AKL=90^. Из подобия треугольников ALK и ASH получаем: (AH)/(sqrt(AH^2+SH^2))=((2)/(3)sqrt(AH^2+SH^2))/(AL), откуда AL=((2)/(3)(2+7))/(sqrt(2))=3sqrt(2)=2AM. Итак, M — середина AL. Обозначим через P середину AK. Тогда LK MP, откуда SN=NM, ибо SK=KP. Таким образом, плоскость pi проходит через середины рёбер SB и SC. Следовательно, pi отсекает от пирамиды ABCS пирамиду, объём которой равен (1)/(3)*(1)/(2)*(1)/(2)=(1)/(12) объёма пирамиды ABCS. То есть pi делит объём исходной пирамиды в отношении 1 : 11.

1 : 11