Действительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению abc=(a-1)(b-1)(c-1). Найдите наименьшее возможное значение выражения a^2+b^2+c^2.

Заметим, что данное в условии соотношение равносильно равенству ab+bc+ac=a+b+c-1. Стало быть, a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-2(a+b+c-1)=(a+b+c-1)^2+1 1. При этом равенство достигается при a+b+c=1, например, при a=b=0 и c=1. Нетрудно заметить, что при таких значениях a, b, c равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения a^2+b^2+c^2 равно 1.

1