Задача №17653

Действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют соотношению

$$abc=(a-1)(b-1)(c-1).$$

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a^2+b^2+c^2\text{.}$

Заметим, что данное в условии соотношение равносильно равенству

$$ab+bc+ac=a+b+c-1.$$

Стало быть,

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ac)=(a+b+c{)}^2-2(a+b+c-1)=(a+b+c-1{)}^2+1⩾1.$$

При этом равенство достигается при $a+b+c=1\text{,}$ например, при $a=b=0$ и $c=1\text{.}$ Нетрудно заметить, что при таких значениях $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a^2+b^2+c^2$ равно 1.