Задача №17652

Вписанная в прямоугольный треугольник $ABC$ окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $F\text{.}$ Найдите $\sin \angle CBD\text{,}$ если известно, что $\sin \angle CAF=1/\sqrt{10}\text{.}$

Положим $CD=x\text{,}$ $BF=y\text{,}$ $AD=z\text{.}$ Тогда $CF=x\text{,}$ $BE=y\text{,}$ $AE=z\text{,}$ где $E$ — точка касания окружности с гипотенузой. По теореме Пифагора $(x+y{)}^2+(x+z{)}^2=(y+z{)}^2\text{.}$ Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем $x^2+xy+xz=yz$ или, что то же самое, $\frac{x}{y}\cdot \frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=1\text{.}$ Раскладывая на множители, получаем

По условию $\sin \angle CAF=1/\sqrt{10}\text{.}$ Тогда $\cos \angle CAF=3/\sqrt{10}$ и $\mathrm{tg}\angle CAF=1/3\text{.}$ Стало быть, $x/(x+z)=1/3\text{,}$ откуда $z=2x\text{.}$ Подставляя $\frac{x}{z}=\frac{1}{2}$ в полученное выше соотношение, получаем $y=3x\text{.}$ Тогда $\mathrm{tg}\angle CBD=1/4\text{,}$ откуда $\sin \angle CBD=1/\sqrt{17}\text{.}$