Вписанная в прямоугольный треугольник ABC окружность касается катетов AC и BC в точках D и F. Найдите sin CBD, если известно, что sin CAF=1/sqrt(10).

Положим CD=x, BF=y, AD=z. Тогда CF=x, BE=y, AE=z, где E — точка касания окружности с гипотенузой. По теореме Пифагора (x+y)^2+(x+z)^2=(y+z)^2. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем x^2+xy+xz=yz или, что то же самое, (x)/(y)*(x)/(z)+(x)/(y)+(x)/(z)=1. Раскладывая на множители, получаем ((x)/(y)+1)((x)/(z)+1)=2. По условию sin CAF=1/sqrt(10). Тогда cos CAF=3/sqrt(10) и tg CAF=1/3. Стало быть, x/(x+z)=1/3, откуда z=2x. Подставляя (x)/(z)=(1)/(2) в полученное выше соотношение, получаем y=3x. Тогда tg CBD=1/4, откуда sin CBD=1/sqrt(17).

\(\frac{1}{\sqrt{17}}\)