Задача №17649

Возрастающая геометрическая прогрессия $a_1,a_2,a_3,\dots$ удовлетворяет условиям $a_3-a_1=3\text{,}$ $a_7-a_3=60\text{.}$ Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда

Второе уравнение равносильно $a_1{q}^2(q^2-1)(q^2+1)=60\text{.}$ Учитывая первое уравнение, получаем $q^4+q^2-20=0\text{,}$ то есть $(q^2+5)(q^2-4)=0\text{,}$ откуда $q^2=4\text{.}$ Стало быть, $q=2\text{,}$ ибо $q=-2$ противоречит возрастанию прогрессии. Подставляя $q=2$ в любое из двух уравнений, получаем $a_1=1\text{.}$ Стало быть, $a_n=2^{n-1}$ для любого $n⩾1\text{,}$ то есть искомая сумма равна $1+2+2^2+2^3+\dots +2^6=2^7-1=127\text{.}$