Возрастающая геометрическая прогрессия a_1, a_2, a_3, удовлетворяет условиям a_3-a_1=3, a_7-a_3=60. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Обозначим через q знаменатель прогрессии. Тогда casesa_1(q^2-1)=3 a_1(q^6-q^2)=60cases Второе уравнение равносильно a_1 q^2(q^2-1)(q^2+1)=60. Учитывая первое уравнение, получаем q^4+q^2-20=0, то есть (q^2+5)(q^2-4)=0, откуда q^2=4. Стало быть, q=2, ибо q=-2 противоречит возрастанию прогрессии. Подставляя q=2 в любое из двух уравнений, получаем a_1=1. Стало быть, a_n=2^(n-1) для любого n 1, то есть искомая сумма равна 1+2+2^2+2^3++2^6=2^7-1=127.

127