Задача №17647

Дан куб с ребром 1, нижним основанием $ABCD$ и боковыми рёбрами $A{A}_1\text{,}$ $B{B}_1\text{,}$ $C{C}_1\text{,}$ $D{D}_1\text{.}$ На рёбрах $A_1{D}_1\text{,}$ $B{B}_1\text{,}$ $C{C}_1\text{,}$ $AD$ отмечены соответственно точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N\text{,}$ так что $A_{1}K=K{D}_1\text{,}$ $BL:L{B}_1=7:1\text{,}$ $CM:M{C}_1=DN:NA=4:3\text{.}$ Найдите площадь сечения тетраэдра $KLMN\text{,}$ параллельного рёбрам $KL$ и $MN\text{,}$ имеющего форму ромба.

Пусть $c$ — длина стороны ромба, $\alpha$ — его меньший угол. Тогда искомая площадь равна $c^2\sin \alpha \text{,}$ причём угол $\alpha$ равен углу между прямыми $KL$ и $MN\text{.}$
Найдём $c\text{.}$ Пусть сечение делит отрезок $KN$ на отрезки длины $x$ и $y\text{,}$ считая от $K\text{.}$ Из подобия треугольников получаем

Отсюда $x=y\cdot \frac{KL}{NM}\text{,}$ то есть $c=\frac{1}{\frac{1}{KL}+\frac{1}{NM}}\text{.}$ По теореме Пифагора

то есть $c=\frac{3}{5}\text{.}$
Найдём угол $\alpha$ — угол между $KL$ и $MN\text{.}$ Он равен углу между векторами $\left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{8}\right)$ и $\left(-\frac{4}{7},1,-\frac{4}{7}\right)\text{.}$ Их скалярное произведение равно $1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\right)\cdot \frac{4}{7}=\frac{9}{14}\text{.}$ Следовательно,

Соответственно,

то есть искомая площадь равна