Дан куб с ребром 1, нижним основанием ABCD и боковыми рёбрами AA_1, BB_1, CC_1, DD_1. На рёбрах A_1D_1, BB_1, CC_1, AD отмечены соответственно точки K, L, M, N, так что A_1K = KD_1, BL : LB_1 = 7 : 1, CM : MC_1 = DN : NA = 4 : 3. Найдите площадь сечения тетраэдра KLMN, параллельного рёбрам KL и MN, имеющего форму ромба.

Пусть c — длина стороны ромба, alpha — его меньший угол. Тогда искомая площадь равна c^2, причём угол alpha равен углу между прямыми KL и MN. Найдём c. Пусть сечение делит отрезок KN на отрезки длины x и y, считая от K. Из подобия треугольников получаем c=(x)/(x+y)NM=(y)/(x+y)KL. Отсюда x=y*(KL)/(NM), то есть c=(1)/((1)/(KL)+(1)/(NM)). По теореме Пифагора KL=sqrt(1+(1)/(4)+(1)/(64))=(9)/(8), NM=sqrt(1+(16)/(49)+(16)/(49))=(9)/(7), то есть c=(3)/(5). Найдём угол alpha — угол между KL и MN. Он равен углу между векторами ((1)/(2),1,(1)/(8)) и (-(4)/(7),1,-(4)/(7)). Их скалярное произведение равно 1-((1)/(2)+(1)/(8))*(4)/(7)=(9)/(14). Следовательно, =(9)/(14)*(8)/(9)*(7)/(9)=(4)/(9). Соответственно, =(sqrt(65))/(9), то есть искомая площадь равна ((3)/(5))^2*(sqrt(65))/(9)=(sqrt(13))/(5sqrt(5)).

\(\frac{\sqrt{13}}{5\sqrt{5}}\)