Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению asqrt(bc)+bsqrt(ca)+csqrt(ab)=1. Найдите наименьшее возможное значение выражения a+b+c.

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим 1=asqrt(bc)+bsqrt(ca)+csqrt(ab) a*(b+c)/(2)+b*(c+a)/(2)+c*(a+b)/(2)=ab+bc+ac. При этом равенство достигается при a=b=c. С другой стороны, (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(1)/(2)((a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2))+3(ab+bc+ac) 3(ab+bc+ac). При этом равенство, опять же, достигается при a=b=c. Таким образом, a+b+c(3)*sqrt(ab+bc+ac)(3) и равенство достигается при a=b=c=(1)/(sqrt(3)). Остаётся убедиться, что при таких значениях a, b, c данное в условии соотношение также имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения a+b+c равно sqrt(3).

\(\sqrt{3}\)