Задача №17646

Положительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют соотношению

$$a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}=1.$$

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a+b+c\text{.}$

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

$$1=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}⩽a\cdot \frac{b+c}{2}+b\cdot \frac{c+a}{2}+c\cdot \frac{a+b}{2}=ab+bc+ac.$$

При этом равенство достигается при $a=b=c\text{.}$ С другой стороны,

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=\frac{1}{2}\left(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\right)+3(ab+bc+ac)⩾3(ab+bc+ac).$$

При этом равенство, опять же, достигается при $a=b=c\text{.}$ Таким образом,

$$a+b+c⩾\sqrt{3}\cdot \sqrt{ab+bc+ac}⩾\sqrt{3}$$

и равенство достигается при $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$ Остаётся убедиться, что при таких значениях $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ данное в условии соотношение также имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a+b+c$ равно $\sqrt{3}\text{.}$