Задача №17645

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. На его диагонали $AC$ отмечена точка $E\text{,}$ а на продолжении этой диагонали за точку $C$ отмечена точка $F$ таким образом, что $\angle ADE=\angle CBF\text{.}$ Найдите угол $\angle CDF\text{,}$ если известно, что $\angle ABE=15^{\circ }\text{.}$

Углы $\angle ADB$ и $\angle ACB$ равны как опирающиеся на одну дугу. При этом $\angle ADB=\angle ADE+\angle EDB$ и $\angle ACB=\angle CBF+\angle CFB\text{.}$ Поскольку по условию $\angle ADE=\angle CBF\text{,}$ получаем $\angle EDB=\angle CFB\text{.}$ Отсюда следует, что четырёхугольник $BFDE$ вписанный. В частности, $\angle BEF=\angle BDF\text{.}$ При этом $\angle BEF=\angle BAE+\angle ABE$ и $\angle BDF=\angle BDC+\angle CDF\text{.}$ Поскольку углы $\angle BAE(=\angle BAC)$ и $\angle BDC$ равны как опирающиеся на одну дугу, получаем $\angle CDF=\angle ABE=15^{\circ }\text{.}$