Плоские углы при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равны 30^. Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, равен 1.

Пусть AB — одно из рёбер основания пирамиды, S — её вершина. Пусть SH — высота пирамиды, SE — высота боковой грани ABS. Положим alpha= ASE (=(1)/(2) ASB=15^), beta= ESH, x=HE (=AE=(1)/(2)AB). Из прямоугольных треугольников ASE и ESH видим, что =(HE)/(SE)=(AE)/(SE)=tgalpha=(sin 2alpha)/(1+cos 2alpha)=((1)/(2))/(1+(sqrt(3))/(2))=2-sqrt(3). Центр O вписанной сферы лежит на SH. Основание F перпендикуляра, опущенного из O на грань ABS, лежит на SE, причём OH=OF=r, где r — радиус сферы (по условию r=1). Из прямоугольных треугольников OSF и ESH видим, что OS=r/, ES=x/. Стало быть, (r+(r)/())^2+x^2=((x)/())^2, откуда x^2=r^2*((1+)^2)/(1-sin^2beta)=r^2*(1+)/(1-)=(3-sqrt(3))/(sqrt(3)-1)=sqrt(3). Таким образом, AB=2x=2[4]3.

\(2\sqrt[4]{3}\)