Задача №17640

Плоские углы при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равны $30^{\circ }\text{.}$ Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, равен 1.

Пусть $AB$ — одно из рёбер основания пирамиды, $S$ — её вершина. Пусть $SH$ — высота пирамиды, $SE$ — высота боковой грани $ABS\text{.}$ Положим $\alpha =\angle ASE$ $\left(=\frac{1}{2}\angle ASB=15^{\circ }\right)\text{,}$ $\beta =\angle ESH\text{,}$ $x=HE$ $\left(=AE=\frac{1}{2}AB\right)\text{.}$ Из прямоугольных треугольников $ASE$ и $ESH$ видим, что

Центр $O$ вписанной сферы лежит на $SH\text{.}$ Основание $F$ перпендикуляра, опущенного из $O$ на грань $ABS\text{,}$ лежит на $SE\text{,}$ причём $OH=OF=r\text{,}$ где $r$ — радиус сферы (по условию $r=1$). Из прямоугольных треугольников $OSF$ и $ESH$ видим, что $OS=r/\sin \beta \text{,}$ $ES=x/\sin \beta \text{.}$ Стало быть,

откуда

Таким образом, $AB=2x=2\sqrt[4]{3}\text{.}$