Найдите все значения параметра k, при которых неравенство a^3+b^3+c^3+6 k(a+b+c) справедливо для всех действительных a, b, c, таких что a -2, b -2, c -2.

При a=b=c=-2 имеем -18 -6k, откуда k 3. При a=b=c=1 имеем 9 3k, откуда k 3. Стало быть, если удовлетворяющие требуемому условию k существуют, то k=3. Заметим теперь, что при a -2 справедливо a^3+2 3a, ибо при таких a имеем a^3-3a+2=(a+2)(a-1)^2 0. Аналогично, при b -2 и c -2 справедливо b^3+2 3b и c^3+2 3c. Стало быть, при (a,b,c) -2 выполняется a^3+b^3+c^3+6 3(a+b+c). Таким образом, k=3.

\(k=3\)