Задача №17639

Найдите все значения параметра $k\text{,}$ при которых неравенство

$$a^3+b^3+c^3+6⩾k(a+b+c)$$

справедливо для всех действительных $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ таких что $a⩾-2\text{,}$ $b⩾-2\text{,}$ $c⩾-2\text{.}$

При $a=b=c=-2$ имеем $-18⩾-6k\text{,}$ откуда $k⩾3\text{.}$ При $a=b=c=1$ имеем $9⩾3k\text{,}$ откуда $k⩽3\text{.}$ Стало быть, если удовлетворяющие требуемому условию $k$ существуют, то $k=3\text{.}$
Заметим теперь, что при $a⩾-2$ справедливо $a^3+2⩾3a\text{,}$ ибо при таких $a$ имеем $a^3-3a+2=(a+2)(a-1{)}^2⩾0\text{.}$ Аналогично, при $b⩾-2$ и $c⩾-2$ справедливо $b^3+2⩾3b$ и $c^3+2⩾3c\text{.}$ Стало быть, при $\min (a,b,c)⩾-2$ выполняется

$$a^3+b^3+c^3+6⩾3(a+b+c).$$

Таким образом, $k=3\text{.}$