В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. На DE как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает отрезки AE и AD в точках F и G соответственно. Найдите длину отрезка FG, если известно, что BC = 25, BD = 20 и BE = 7.

Из прямоугольных треугольников BCD и BCE получаем CD=sqrt(25^2-20^2)=15 и CE=sqrt(25^2-7^2)=24. Из подобия прямоугольных треугольников ABD и ACE получаем (AD)/(AE)=(BD)/(CE)=(20)/(24)=(5)/(6) и (AE+7)/(AD+15)=(AB)/(AC)=(BD)/(CE)=(5)/(6). Из этих двух соотношений на AD и AE получаем AD=15, AE=18. Таким образом, AD=DC, откуда ED=AD, то есть треугольник AED равнобедренный. Поскольку же DE — диаметр окружности, DF AE, то есть DF — высота и медиана треугольника AED. Стало быть, AF=(1)/(2)AE=9. Наконец, отметим, что четырёхугольники BCDE и EDGF вписанные, откуда следует, что ABC= ADE= AFG. Значит, FG BC, то есть треугольники ABC и AFG подобны. Но, как мы отметили выше, AD=DC. Отсюда следует, что BC=AB и, стало быть, FG=AF=9.

9