Задача №17638

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE\text{.}$ На $DE$ как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает отрезки $AE$ и $AD$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите длину отрезка $FG\text{,}$ если известно, что $BC=25\text{,}$ $BD=20$ и $BE=7\text{.}$

Из прямоугольных треугольников $BCD$ и $BCE$ получаем $CD=\sqrt{25^2-20^2}=15$ и $CE=\sqrt{25^2-7^2}=24\text{.}$ Из подобия прямоугольных треугольников $ABD$ и $ACE$ получаем

Из этих двух соотношений на $AD$ и $AE$ получаем $AD=15\text{,}$ $AE=18\text{.}$ Таким образом, $AD=DC\text{,}$ откуда $ED=AD\text{,}$ то есть треугольник $AED$ равнобедренный. Поскольку же $DE$ — диаметр окружности, $DF\perp AE\text{,}$ то есть $DF$ — высота и медиана треугольника $AED\text{.}$ Стало быть, $AF=\frac{1}{2}AE=9\text{.}$ Наконец, отметим, что четырёхугольники $BCDE$ и $EDGF$ вписанные, откуда следует, что $\angle ABC=\angle ADE=\angle AFG\text{.}$ Значит, $FG\parallel BC\text{,}$ то есть треугольники $ABC$ и $AFG$ подобны. Но, как мы отметили выше, $AD=DC\text{.}$ Отсюда следует, что $BC=AB$ и, стало быть, $FG=AF=9\text{.}$