Последовательность a_1, a_2, a_3, действительных чисел определяется равенствами a_1=0, a_n=(1+sqrt(n))((1)/(sqrt(1)+sqrt(2))+(1)/(sqrt(2)+sqrt(3))++(1)/(sqrt(n-1)+sqrt(n))) (n 2). Найдите a_(2023).

Задача №17635: Числа и последовательности

Последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ действительных чисел определяется равенствами

a_{1} = 0, a_{n} = (1 + n) (\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \dots + \frac{1}{n - 1 + n}) (n ⩾ 2) .

Найдите $a_{2023} .$

Поскольку

a_{n} = (1 + n) (\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \dots + \frac{1}{n - 1 + n}) = (1 + n) ((2 - 1) + (3 - 2) + \dots + (n - n - 1)) = (1 + n) (n - 1) = n - 1,

имеем $a_{2023} = 2022 .$

Последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ действительных чисел определяется равенствами

a_{1} = 0, a_{n} = (1 + n) (\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \dots + \frac{1}{n - 1 + n}) (n ⩾ 2) .

Найдите $a_{2023} .$

Поскольку

a_{n} = (1 + n) (\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \dots + \frac{1}{n - 1 + n}) = (1 + n) ((2 - 1) + (3 - 2) + \dots + (n - n - 1)) = (1 + n) (n - 1) = n - 1,

имеем $a_{2023} = 2022 .$