Задача №17633

Расстояния от (внутренней) диагонали прямоугольного параллелепипеда до его рёбер, не имеющих с этой диагональю общих точек, равны $\sqrt{\frac{2}{3}}\text{,}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ $\sqrt{\frac{6}{5}}\text{.}$ Найдите объём этого параллелепипеда.

Обозначим вершины параллелепипеда $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ так, чтобы нижнее основание было $ABCD\text{,}$ а боковые рёбра были $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ Пусть $AB=x\text{,}$ $B{B}^{\prime }=y\text{,}$ $B^{\prime }{C}^{\prime }=z\text{.}$ Рассмотрим диагональ $A{C}^{\prime }\text{.}$ Расстояние от $A{C}^{\prime }$ до ребра $B{B}^{\prime }$ достигается на отрезке, перпендикулярном $A{C}^{\prime }$ и $B{B}^{\prime }\text{.}$ Этот отрезок параллелен плоскости нижнего основания, а его ортогональная проекция на эту плоскость совпадает с высотой треугольника $ABC\text{,}$ опущенной из вершины $B\text{.}$ Обозначим эту высоту $h\text{.}$ Тогда $h\cdot AC=AB\cdot BC\text{,}$ то есть $h=xz/\sqrt{x^2+z^2}\text{.}$ Итак, расстояние от $A{C}^{\prime }$ до ребра $B{B}^{\prime }$ равно $xz/\sqrt{x^2+z^2}\text{.}$ Аналогично, два других расстояния, указанных в условии, равны $xy/\sqrt{x^2+y^2}$ и $yz/\sqrt{y^2+z^2}\text{.}$ Не ограничивая общности, можно считать, что

откуда

Следовательно, $1/x^2=1\text{,}$ $1/y^2=1/2\text{,}$ $1/z^2=1/3\text{,}$ то есть $x=1\text{,}$ $y=\sqrt{2}\text{,}$ $z=\sqrt{3}\text{.}$ Стало быть, объём параллелепипеда равен $xyz=\sqrt{6}\text{.}$