Расстояния от (внутренней) диагонали прямоугольного параллелепипеда до его рёбер, не имеющих с этой диагональю общих точек, равны sqrt((2)/(3)), (sqrt(3))/(2), sqrt((6)/(5)). Найдите объём этого параллелепипеда.

Обозначим вершины параллелепипеда ABCDA'B'C'D' так, чтобы нижнее основание было ABCD, а боковые рёбра были AA', BB', CC', DD'. Пусть AB=x, BB'=y, B'C'=z. Рассмотрим диагональ AC'. Расстояние от AC' до ребра BB' достигается на отрезке, перпендикулярном AC' и BB'. Этот отрезок параллелен плоскости нижнего основания, а его ортогональная проекция на эту плоскость совпадает с высотой треугольника ABC, опущенной из вершины B. Обозначим эту высоту h. Тогда h* AC=AB* BC, то есть h=xz/sqrt(x^2+z^2). Итак, расстояние от AC' до ребра BB' равно xz/sqrt(x^2+z^2). Аналогично, два других расстояния, указанных в условии, равны xy/sqrt(x^2+y^2) и yz/sqrt(y^2+z^2). Не ограничивая общности, можно считать, что xy/sqrt(x^2+y^2)=sqrt((2)/(3)), xz/sqrt(x^2+z^2)=(sqrt(3))/(2), yz/sqrt(y^2+z^2)=sqrt((6)/(5)), откуда (1)/(x^2)+(1)/(y^2)=(3)/(2), (1)/(x^2)+(1)/(z^2)=(4)/(3), (1)/(y^2)+(1)/(z^2)=(5)/(6). Следовательно, 1/x^2=1, 1/y^2=1/2, 1/z^2=1/3, то есть x=1, y=sqrt(2), z=sqrt(3). Стало быть, объём параллелепипеда равен xyz=sqrt(6).

\(\sqrt{6}\)