Задача №17632

Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{c-b}{a+2b+c}+\frac{2b}{a+b+2c}-\frac{4c}{a+b+3c}$$

при положительных $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{.}$

Положим $x=a+2b+c\text{,}$ $y=a+b+2c\text{,}$ $z=a+b+3c\text{.}$ Тогда $x\text{,}$ $y\text{,}$ $z$ также положительны, $c=z-y\text{,}$ $b=x+z-2y\text{,}$ $c-b=y-x$ и исходное выражение переписывается как

$$\frac{c-b}{a+2b+c}+\frac{2b}{a+b+2c}-\frac{4c}{a+b+3c}=\frac{y-x}{x}+\frac{2x+2z-4y}{y}-\frac{4z-4y}{z}=-9+\frac{y}{x}+2\frac{x}{y}+2\frac{z}{y}+4\frac{y}{z}.$$

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим $\frac{y}{x}+2\frac{x}{y}⩾2\sqrt{2}$ и $2\frac{z}{y}+4\frac{y}{z}⩾4\sqrt{2}\text{.}$ Причём равенства достигаются при $y=x\sqrt{2}$ и $z=y\sqrt{2}\text{,}$ то есть при

$$\{\begin{array}{l}a+b+2c=(a+2b+c)\sqrt{2}\\ a+b+3c=(a+b+2c)\sqrt{2}\end{array}$$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем $c=(c-b)\sqrt{2}\text{,}$ откуда $b\sqrt{2}=c(\sqrt{2}-1)\text{,}$ то есть $c=b(2+\sqrt{2})\text{.}$ Подставляя $c=b(2+\sqrt{2})$ в любое из двух уравнений, получаем $a(\sqrt{2}-1)=b(3-2\sqrt{2})\text{,}$ то есть $a=b(\sqrt{2}-1)\text{.}$ Таким образом, например, при $a=\sqrt{2}-1\text{,}$ $b=1\text{,}$ $c=2+\sqrt{2}$ равенства $y=x\sqrt{2}$ и $z=y\sqrt{2}$ имеют место и, стало быть, исходное выражение достигает своего наименьшего значения $-9+2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}-9\text{.}$