Найдите наименьшее возможное значение выражения (c-b)/(a+2b+c)+(2b)/(a+b+2c)-(4c)/(a+b+3c) при положительных a, b, c.

Положим x=a+2b+c, y=a+b+2c, z=a+b+3c. Тогда x, y, z также положительны, c=z-y, b=x+z-2y, c-b=y-x и исходное выражение переписывается как (c-b)/(a+2b+c)+(2b)/(a+b+2c)-(4c)/(a+b+3c)=(y-x)/(x)+(2x+2z-4y)/(y)-(4z-4y)/(z)=-9+(y)/(x)+2(x)/(y)+2(z)/(y)+4(y)/(z). В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (y)/(x)+2(x)/(y) 2sqrt(2) и 2(z)/(y)+4(y)/(z) 4sqrt(2). Причём равенства достигаются при y=xsqrt(2) и z=ysqrt(2), то есть при casesa+b+2c=(a+2b+c)sqrt(2) a+b+3c=(a+b+2c)sqrt(2)cases Вычитая из второго уравнения первое, получаем c=(c-b)sqrt(2), откуда bsqrt(2)=c(sqrt(2)-1), то есть c=b(2+sqrt(2)). Подставляя c=b(2+sqrt(2)) в любое из двух уравнений, получаем a(sqrt(2)-1)=b(3-2sqrt(2)), то есть a=b(sqrt(2)-1). Таким образом, например, при a=sqrt(2)-1, b=1, c=2+sqrt(2) равенства y=xsqrt(2) и z=ysqrt(2) имеют место и, стало быть, исходное выражение достигает своего наименьшего значения -9+2sqrt(2)+4sqrt(2)=6sqrt(2)-9.

\(6\sqrt{2}-9\)