На сторонах AB, BC, CD, AD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки E, F, G, H. Известно, что AE = EB, 2BF = FC, CG = GD, DH = 2HA и что площадь четырёхугольника ABCD в два раза больше площади четырёхугольника EFGH. Найдите отношение AC : BD.

Не ограничивая общности, будем считать, что площадь четырёхугольника ABCD равна 1. Обозначим площади треугольников ABC, ACD, BCD, BDA через a, b, c, d соответственно. Тогда a+b=c+d=1, а площади треугольников EBF, FCG, GDH, HAE равны соответственно (1)/(6)a, (1)/(3)c, (1)/(3)b, (1)/(6)d. Сумма же площадей этих треугольников равна (1)/(2). Получаем (1)/(2)=(1)/(6)a+(1)/(3)c+(1)/(3)(1-a)+(1)/(6)(1-c)=(1)/(2)+(1)/(6)(c-a). Таким образом, a=c, то есть площади треугольников ABC и BCD равны. Стало быть, AD BC, то есть четырёхугольник ABCD является трапецией. Поскольку же он вписанный, эта трапеция равнобокая. Стало быть, диагонали её равны. То есть AC : BD = 1 : 1.

1 : 1