Задача №17631

На сторонах $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $AD$ вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $E\text{,}$ $F\text{,}$ $G\text{,}$ $H\text{.}$ Известно, что $AE=EB\text{,}$ $2BF=FC\text{,}$ $CG=GD\text{,}$ $DH=2HA$ и что площадь четырёхугольника $ABCD$ в два раза больше площади четырёхугольника $EFGH\text{.}$ Найдите отношение $AC:BD\text{.}$

Не ограничивая общности, будем считать, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 1. Обозначим площади треугольников $ABC\text{,}$ $ACD\text{,}$ $BCD\text{,}$ $BDA$ через $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ соответственно. Тогда $a+b=c+d=1\text{,}$ а площади треугольников $EBF\text{,}$ $FCG\text{,}$ $GDH\text{,}$ $HAE$ равны соответственно $\frac{1}{6}a\text{,}$ $\frac{1}{3}c\text{,}$ $\frac{1}{3}b\text{,}$ $\frac{1}{6}d\text{.}$ Сумма же площадей этих треугольников равна $\frac{1}{2}\text{.}$ Получаем

Таким образом, $a=c\text{,}$ то есть площади треугольников $ABC$ и $BCD$ равны. Стало быть, $AD\parallel BC\text{,}$ то есть четырёхугольник $ABCD$ является трапецией. Поскольку же он вписанный, эта трапеция равнобокая. Стало быть, диагонали её равны. То есть $AC:BD=1:1\text{.}$