Задача №17628

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел. Найдите $a_1\text{,}$ если известно, что $a_8=8$ и что для любого индекса $n$ справедливо равенство

Перепишем равенство как $a_{n+1}+(n+1)=\sqrt[7]{2}(a_n+n)\text{.}$ Отсюда следует, что $a_{n+1}+(n+1)={\left(\sqrt[7]{2}\right)}^n(a_1+1)\text{.}$ При $n=7$ получаем $a_8+8=2(a_1+1)\text{.}$ Стало быть, $a_1=(8+8)/2-1=7\text{.}$